Determine se as retas e são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as retas e são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no plano e como comparar suas direções e posições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações parametrizadas das retas:
  • Para :
  • Para :
Aqui, e são os parâmetros das retas.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores de direção de cada reta, que indicam a direção em que cada reta está apontando. Para isso, observamos os coeficientes dos parâmetros:
  • Vetor de direção de :
  • Vetor de direção de :

Passo 4

Para saber se as retas são paralelas, verificamos se os vetores de direção são proporcionais, ou seja, se existe um número tal que .
Vamos comparar os componentes:
Como não é o mesmo nas duas equações, os vetores não são proporcionais. Então, as retas não são paralelas.

Passo 5

Já que as retas não são paralelas, elas devem se intersectar em um único ponto. Para encontrar esse ponto, igualamos as equações das retas e resolvemos o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver a equação (2) para encontrar uma relação entre e :

Passo 7

Substituímos na equação (1):
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Com , encontramos :

Passo 9

Agora, substituímos na equação de para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

As retas e são concorrentes e se intersectam no ponto .

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o como principal (de simetria) e passa pelo ponto . Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:
a)
b)
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz: