Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no plano e como comparar suas direções e posições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações parametrizadas das retas:
- Para
: - Para
:
Aqui,
e
são os parâmetros das retas.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores de direção de cada reta, que indicam a direção em que cada reta está apontando. Para isso, observamos os coeficientes dos parâmetros:
- Vetor de direção de
: - Vetor de direção de
:
Passo 4
Para saber se as retas são paralelas, verificamos se os vetores de direção são proporcionais, ou seja, se existe um número
tal que
.
Vamos comparar os componentes:
Como
não é o mesmo nas duas equações, os vetores não são proporcionais. Então, as retas não são paralelas.
Passo 5
Já que as retas não são paralelas, elas devem se intersectar em um único ponto. Para encontrar esse ponto, igualamos as equações das retas e resolvemos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver a equação (2) para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 7
Substituímos
na equação (1):
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Com
, encontramos
:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação de
para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
As retas
e
são concorrentes e se intersectam no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o
como principal (de simetria) e passa pelo ponto
. Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Seja
a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:
a)
b)
a)
b)
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz: