Determine se as retas r1 e r2 são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
a)
ll r1: & x=3-2 t, y=1+3 t r2: & x=-1-s, y=1+s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as retas e são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no plano e como comparar suas direções e posições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações parametrizadas das retas:
  • Para x = 3 - 2t : y = 1 + 3t x = -1 - s
  • Para y = 1 + s :
Aqui, e são os parâmetros das retas.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores de direção de cada reta, que indicam a direção em que cada reta está apontando. Para isso, observamos os coeficientes dos parâmetros:
  • Vetor de direção de :
  • Vetor de direção de :

Passo 4

Para saber se as retas são paralelas, verificamos se os vetores de direção são proporcionais, ou seja, se existe um número -2 = k times (-1) implies k = 2 tal que 3 = k times 1 implies k = 3 .
Vamos comparar os componentes:
Como não é o mesmo nas duas equações, os vetores não são proporcionais. Então, as retas não são paralelas.

Passo 5

Já que as retas não são paralelas, elas devem se intersectar em um único ponto. Para encontrar esse ponto, igualamos as equações das retas e resolvemos o sistema de equações:
3 - 2t = -1 - s (1)
1 + 3t = 1 + s (2)

Passo 6

Vamos resolver a equação (2) para encontrar uma relação entre 1 + 3t = 1 + s implies 3t = s implies s = 3t e :

Passo 7

Substituímos 3 - 2t = -1 - 3t na equação (1):
3 - 2t + 3t = -1
Agora, resolvemos para 3 + t = -1 implies t = -4 :

Passo 8

Com s = 3t = 3 times (-4) = -12 , encontramos :

Passo 9

Agora, substituímos x = 3 - 2(-4) = 3 + 8 = 11 na equação de y = 1 + 3(-4) = 1 - 12 = -11 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

As retas e são concorrentes e se intersectam no ponto .

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