Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de parábolas! O enunciado nos dá o vértice da parábola em
e a diretriz
. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola e esboçar seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas, como a definição de vértice e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, já sabemos o vértice e a diretriz, então precisamos encontrar essa equação que relaciona tudo isso.
Passo 3
Como a diretriz é a reta
e o vértice está na origem
, podemos determinar que a parábola abre para cima ou para baixo. Para saber qual, observamos que a diretriz está abaixo do vértice, indicando que a parábola abre para cima.
Passo 4
A fórmula geral da equação reduzida de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde
é a distância do vértice ao foco e também do vértice à diretriz.
Passo 5
Sabemos que a diretriz está a
e o vértice está em
. A distância
entre o vértice e a diretriz é 1 unidade. Como a parábola abre para cima, usamos
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da parábola, temos:
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico, sabemos que o vértice está na origem. Como
, a parábola é simétrica em relação ao eixo
e se abre para cima. Podemos marcar alguns pontos, como quando
,
; quando
,
, e assim por diante, para desenhar a curva.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
. O gráfico é uma parábola com vértice na origem, simétrica em relação ao eixo
e abrindo para cima, com a diretriz em
.