Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de parábolas! O enunciado nos dá o vértice da parábola em e a diretriz . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola e esboçar seu gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas, como a definição de vértice e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, já sabemos o vértice e a diretriz, então precisamos encontrar essa equação que relaciona tudo isso.
Passo 3
Como a diretriz é a reta e o vértice está na origem , podemos determinar que a parábola abre para cima ou para baixo. Para saber qual, observamos que a diretriz está abaixo do vértice, indicando que a parábola abre para cima.
Passo 4
A fórmula geral da equação reduzida de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde é a distância do vértice ao foco e também do vértice à diretriz.
Passo 5
Sabemos que a diretriz está a e o vértice está em . A distância entre o vértice e a diretriz é 1 unidade. Como a parábola abre para cima, usamos .
Passo 6
Substituindo na fórmula da parábola, temos:
Passo 7
Agora, para esboçar o gráfico, sabemos que o vértice está na origem. Como , a parábola é simétrica em relação ao eixo e se abre para cima. Podemos marcar alguns pontos, como quando , ; quando , , e assim por diante, para desenhar a curva.
Resposta
A equação reduzida da parábola é . O gráfico é uma parábola com vértice na origem, simétrica em relação ao eixo e abrindo para cima, com a diretriz em .
Exercícios relacionados
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Determine se as retas e são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
a)
Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos e . A parábola tem o eixo como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico: