Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o como principal (de simetria) e passa pelo ponto . Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da parábola que:
Passa pela origem (0,0).
Tem o eixo x como eixo principal de simetria.
Passa pelo ponto A(3, 3/2).
Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e entender como a equação da parábola se forma quando conhecemos essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma parábola com o eixo de simetria no eixo x tem a forma:
Aqui, é a distância entre o vértice da parábola e o foco. Nosso objetivo é descobrir o valor de .
Passo 3
Como a parábola passa pela origem (0,0), podemos substituir esses valores na equação para verificar:
Isso confirma que a origem é realmente o vértice da parábola.
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/2) para encontrar o valor de . Substituímos x = 3 e y = 3/2 na equação:
Passo 5
Resolvendo para :
Então, .
Passo 6
Agora que temos , podemos escrever a equação reduzida da parábola:
Passo 7
Vamos encontrar agora o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
Vértice: Já sabemos que é a origem, então V(0, 0).
Foco: Está a uma distância do vértice na direção do eixo da parábola. Como o eixo é o x, e , o foco fica em:
Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo da parábola e fica a uma distância do vértice, mas do lado oposto ao foco. Então, a diretriz é:
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da parábola:
Vértice em (0,0).
Foco em .
Diretriz em .
Passa pelo ponto A(3, \frac{3}{2}).
A parábola abre para a direita, já que o foco está no lado positivo do eixo x.
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Características da Parábola:
Vértice: (0, 0)
Foco:
Diretriz:
O esboço do gráfico mostra uma parábola que abre para a direita, com o vértice na origem, passando pelo ponto A(3, 3/2).