Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o x como principal (de simetria) e passa pelo ponto A(3,3 / 2). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da parábola que:
  • Passa pela origem (0,0).
  • Tem o eixo x como eixo principal de simetria.
  • Passa pelo ponto A(3, 3/2).
Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e entender como a equação da parábola se forma quando conhecemos essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma parábola com o eixo de simetria no eixo x tem a forma:
y^2 = 4p x
Aqui, é a distância entre o vértice da parábola e o foco. Nosso objetivo é descobrir o valor de .

Passo 3

Como a parábola passa pela origem (0,0), podemos substituir esses valores na equação para verificar:
(0)^2 = 4p (0)
0 = 0
Isso confirma que a origem é realmente o vértice da parábola.

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/2) para encontrar o valor de (32)^2 = 4p (3) . Substituímos x = 3 e y = 3/2 na equação:
94 = 12p

Passo 5

Resolvendo para p = 94 times 12 :
p = 948
p = 316
Então, .

Passo 6

Agora que temos y^2 = 4 (316) x , podemos escrever a equação reduzida da parábola:
y^2 = 34 x

Passo 7

Vamos encontrar agora o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
  • Vértice: Já sabemos que é a origem, então V(0, 0).
  • Foco: Está a uma distância F(316, 0) do vértice na direção do eixo da parábola. Como o eixo é o x, e x = -316 , o foco fica em:
  • Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo da parábola e fica a uma distância do vértice, mas do lado oposto ao foco. Então, a diretriz é:

Passo 8

Por fim, vamos esboçar o gráfico da parábola:
  1. Vértice em (0,0).
  2. Foco em .
  3. Diretriz em .
  4. Passa pelo ponto A(3, \frac{3}{2}).
A parábola abre para a direita, já que o foco está no lado positivo do eixo x.

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y^2 = 34 x
Características da Parábola:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco:
  • Diretriz:
O esboço do gráfico mostra uma parábola que abre para a direita, com o vértice na origem, passando pelo ponto A(3, 3/2).

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