Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o
como principal (de simetria) e passa pelo ponto
. Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação reduzida da parábola que:
- Passa pela origem (0,0).
- Tem o eixo x como eixo principal de simetria.
- Passa pelo ponto A(3, 3/2).
Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e entender como a equação da parábola se forma quando conhecemos essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma parábola com o eixo de simetria no eixo x tem a forma:
Aqui,
é a distância entre o vértice da parábola e o foco. Nosso objetivo é descobrir o valor de
.
Passo 3
Como a parábola passa pela origem (0,0), podemos substituir esses valores na equação para verificar:
Isso confirma que a origem é realmente o vértice da parábola.
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/2) para encontrar o valor de
. Substituímos x = 3 e y = 3/2 na equação:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a equação reduzida da parábola:
Passo 7
Vamos encontrar agora o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
-
Vértice: Já sabemos que é a origem, então V(0, 0).
-
Foco: Está a uma distância
do vértice na direção do eixo da parábola. Como o eixo é o x, e , o foco fica em: -
Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo da parábola e fica a uma distância
do vértice, mas do lado oposto ao foco. Então, a diretriz é:
Passo 8
Por fim, vamos esboçar o gráfico da parábola:
- Vértice em (0,0).
- Foco em
. - Diretriz em
. - Passa pelo ponto A(3, \frac{3}{2}).
A parábola abre para a direita, já que o foco está no lado positivo do eixo x.
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Características da Parábola:
- Vértice: (0, 0)
- Foco:
- Diretriz:
O esboço do gráfico mostra uma parábola que abre para a direita, com o vértice na origem, passando pelo ponto A(3, 3/2).