Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos e . A parábola tem o eixo como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Sabemos também que o eixo de simetria da parábola é o eixo x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre a equação geral da parábola com eixo de simetria horizontal e substituir os pontos dados para encontrar os parâmetros necessários. Depois, determinaremos o foco, o vértice e a diretriz dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da equação de uma parábola com eixo de simetria horizontal (no caso, o eixo x). A equação geral dessa parábola é:
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco.

Passo 3

Como o eixo de simetria é o eixo x, o vértice terá . Então, a equação simplifica para:
Agora, sabemos que a parábola passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Vamos usar esses pontos para encontrar os valores de e .

Passo 4

Primeiro, vamos substituir o ponto A(-1, 0) na equação:
Isso nos dá:
Então, o vértice da parábola é .

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto B(0, 2) na equação para encontrar :

Passo 6

Com os valores de e , podemos escrever a equação reduzida da parábola:

Passo 7

Agora, vamos determinar o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
  • Vértice: Já encontramos no Passo 4, que é .
  • Foco: A fórmula para o foco é . Substituindo os valores:
  • Diretriz: A diretriz é a reta perpendicular ao eixo de simetria a uma distância do vértice, do lado oposto ao foco. A fórmula é :

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
Características da parábola:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz: A reta
Esboço do gráfico: A parábola abre para a direita, com o vértice em , foco em e diretriz na reta vertical . Os pontos B(0, 2) e C(0, -2) estão sobre a parábola.

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Resolva os sistemas utilizando escalonamento.