Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos
e
. A parábola tem o eixo
como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Sabemos também que o eixo de simetria da parábola é o eixo x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre a equação geral da parábola com eixo de simetria horizontal e substituir os pontos dados para encontrar os parâmetros necessários. Depois, determinaremos o foco, o vértice e a diretriz dessa parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da equação de uma parábola com eixo de simetria horizontal (no caso, o eixo x). A equação geral dessa parábola é:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 3
Como o eixo de simetria é o eixo x, o vértice
terá
. Então, a equação simplifica para:
Agora, sabemos que a parábola passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Vamos usar esses pontos para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos substituir o ponto A(-1, 0) na equação:
Isso nos dá:
Então, o vértice da parábola é
.
Passo 5
Agora, vamos substituir o ponto B(0, 2) na equação para encontrar
:
Passo 6
Com os valores de
e
, podemos escrever a equação reduzida da parábola:
Passo 7
Agora, vamos determinar o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
-
Vértice: Já encontramos no Passo 4, que é
. -
Foco: A fórmula para o foco é
. Substituindo os valores: -
Diretriz: A diretriz é a reta perpendicular ao eixo de simetria a uma distância
do vértice, do lado oposto ao foco. A fórmula é :
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Características da parábola:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: A reta
Esboço do gráfico: A parábola abre para a direita, com o vértice em
, foco em
e diretriz na reta vertical
. Os pontos B(0, 2) e C(0, -2) estão sobre a parábola.
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Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Resolva os sistemas utilizando escalonamento.