Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos A(-1,0), B(0,2) e C(0,-2). A parábola tem o eixo x como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação reduzida de uma parábola que passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Sabemos também que o eixo de simetria da parábola é o eixo x. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre a equação geral da parábola com eixo de simetria horizontal e substituir os pontos dados para encontrar os parâmetros necessários. Depois, determinaremos o foco, o vértice e a diretriz dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma da equação de uma parábola com eixo de simetria horizontal (no caso, o eixo x). A equação geral dessa parábola é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco.

Passo 3

Como o eixo de simetria é o eixo x, o vértice y^2 = 4p(x - h) terá . Então, a equação simplifica para:
Agora, sabemos que a parábola passa pelos pontos A(-1, 0), B(0, 2) e C(0, -2). Vamos usar esses pontos para encontrar os valores de e .

Passo 4

Primeiro, vamos substituir o ponto A(-1, 0) na equação:
(0)^2 = 4p(-1 - h)
0 = 4p(-1 - h)
Isso nos dá:
-1 - h = 0
h = -1
Então, o vértice da parábola é .

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto B(0, 2) na equação para encontrar (2)^2 = 4p(0 - (-1)) :
4 = 4p(1)
4 = 4p
p = 1

Passo 6

Com os valores de y^2 = 4 cdot 1 (x - (-1)) e y^2 = 4(x + 1) , podemos escrever a equação reduzida da parábola:

Passo 7

Agora, vamos determinar o foco, o vértice e a diretriz da parábola.
  • Vértice: Já encontramos no Passo 4, que é (h + p, k) = (-1 + 1, 0) = (0, 0) .
  • Foco: A fórmula para o foco é x = -1 - 1 = -2 . Substituindo os valores:
  • Diretriz: A diretriz é a reta perpendicular ao eixo de simetria a uma distância do vértice, do lado oposto ao foco. A fórmula é :

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y^2 = 4(x + 1)
Características da parábola:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz: A reta
Esboço do gráfico: A parábola abre para a direita, com o vértice em , foco em e diretriz na reta vertical . Os pontos B(0, 2) e C(0, -2) estão sobre a parábola.

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