Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de parábolas! A gente precisa achar o foco, o vértice, a equação da diretriz e também desenhar o gráfico da parábola dada pela equação . Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, completando o quadrado para colocar a equação na forma padrão da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. A gente vai isolar os termos com de um lado e os outros termos do outro lado:
Isso nos ajuda a preparar para completar o quadrado do lado esquerdo.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado com os termos de . Para isso, pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso nos ajuda a reescrever a expressão quadrática de forma mais simples.
Passo 4
Reescrevendo a equação com o termo completado:
Agora, vamos isolar o termo quadrado:
Passo 5
Vamos colocar a equa��ão na forma padrão da parábola, que é , onde é o vértice e indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Dividindo ambos os lados por 16:
Então, identificamos que:
Passo 6
Com os valores encontrados, podemos determinar:
Vértice:
Foco: Como e a parábola abre para cima, o foco fica unidades acima do vértice:
Diretriz: Também a unidades do vértice, mas na direção oposta, então:
Passo 7
Para construir o gráfico, sabemos que a parábola está voltada para cima com vértice em , foco em e diretriz na reta . O gráfico será uma curva simétrica em relação à linha , abrindo para cima.