Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de parábolas! A gente precisa achar o foco, o vértice, a equação da diretriz e também desenhar o gráfico da parábola dada pela equação . Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, completando o quadrado para colocar a equação na forma padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. A gente vai isolar os termos com de um lado e os outros termos do outro lado:
Isso nos ajuda a preparar para completar o quadrado do lado esquerdo.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado com os termos de . Para isso, pegamos o coeficiente de , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso nos ajuda a reescrever a expressão quadrática de forma mais simples.

Passo 4

Reescrevendo a equação com o termo completado:
Agora, vamos isolar o termo quadrado:

Passo 5

Vamos colocar a equa��ão na forma padrão da parábola, que é , onde é o vértice e indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Dividindo ambos os lados por 16:
Então, identificamos que:

Passo 6

Com os valores encontrados, podemos determinar:
  • Vértice:
  • Foco: Como e a parábola abre para cima, o foco fica unidades acima do vértice:
  • Diretriz: Também a unidades do vértice, mas na direção oposta, então:

Passo 7

Para construir o gráfico, sabemos que a parábola está voltada para cima com vértice em , foco em e diretriz na reta . O gráfico será uma curva simétrica em relação à linha , abrindo para cima.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos e . A parábola tem o eixo como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Resolva os sistemas utilizando escalonamento.
Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Foco: ; diretriz: