Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
x^2+2 x-16 y+33=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de parábolas! A gente precisa achar o foco, o vértice, a equação da diretriz e também desenhar o gráfico da parábola dada pela equação . Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, completando o quadrado para colocar a equação na forma padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. A gente vai isolar os termos com x^2 + 2x = 16y - 33 de um lado e os outros termos do outro lado:
Isso nos ajuda a preparar para completar o quadrado do lado esquerdo.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado com os termos de (22)^2 = 1 . Para isso, pegamos o coeficiente de x^2 + 2x + 1 - 1 = 16y - 33 , que é 2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso nos ajuda a reescrever a expressão quadrática de forma mais simples.

Passo 4

Reescrevendo a equação com o termo completado:
(x + 1)^2 - 1 = 16y - 33
Agora, vamos isolar o termo quadrado:
(x + 1)^2 = 16y - 32

Passo 5

Vamos colocar a equa��ão na forma padrão da parábola, que é (x + 1)^2 = 16(y - 2) , onde h = -1, k = 2, 4p = 16 Rightarrow p = 4 é o vértice e indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Dividindo ambos os lados por 16:
Então, identificamos que:

Passo 6

Com os valores encontrados, podemos determinar:
  • Vértice: (-1, 2 + 4) = (-1, 6)
  • Foco: Como y = 2 - 4 = -2 e a parábola abre para cima, o foco fica unidades acima do vértice:
  • Diretriz: Também a unidades do vértice, mas na direção oposta, então:

Passo 7

Para construir o gráfico, sabemos que a parábola está voltada para cima com vértice em , foco em e diretriz na reta . O gráfico será uma curva simétrica em relação à linha , abrindo para cima.

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Exercícios relacionados