Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Foco:
; diretriz:
Foco:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a equação reduzida de uma parábola e esboçar o gráfico, sabendo que o foco está no ponto
e a diretriz é a reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos entender a relação entre o foco, a diretriz e a equação da parábola para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é
e a diretriz é
, que podemos reescrever como
.
Como a diretriz é uma reta vertical (
), a parábola será horizontal, ou seja, abrirá para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Para uma parábola horizontal com vértice em
, a equação reduzida é dada por:
onde:
-
é a distância do vértice ao foco (se , a parábola abre para a direita; se , para a esquerda), -
é o vértice da parábola.
Precisamos encontrar
,
e
.
Passo 4
Sabemos que a distância entre o vértice e o foco é
, e essa mesma distância está entre o vértice e a diretriz. Vamos achar essa distância.
A diretriz é
e o foco está em
. A distância entre eles é:
Como a parábola está horizontal e o foco está à direita da diretriz,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vértice
. O vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz.
A coordenada
do vértice é:
A coordenada
do vértice é a mesma do foco, já que a diretriz é vertical:
Passo 6
Com
,
e
, substituímos na equação da parábola:
Simplificando:
Passo 7
Para esboçar o gráfico, vamos identificar pontos importantes:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
A parábola abre para a direita, já que
. Podemos traçar a parábola usando a equação
, passando pelo vértice e abrindo na direção do foco.
Resposta
A equação reduzida da parábola é: