Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Foco: ; diretriz:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a equação reduzida de uma parábola e esboçar o gráfico, sabendo que o foco está no ponto e a diretriz é a reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos entender a relação entre o foco, a diretriz e a equação da parábola para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é e a diretriz é , que podemos reescrever como .
Como a diretriz é uma reta vertical (), a parábola será horizontal, ou seja, abrirá para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Para uma parábola horizontal com vértice em , a equação reduzida é dada por:
onde:
é a distância do vértice ao foco (se , a parábola abre para a direita; se , para a esquerda),
é o vértice da parábola.
Precisamos encontrar , e .
Passo 4
Sabemos que a distância entre o vértice e o foco é , e essa mesma distância está entre o vértice e a diretriz. Vamos achar essa distância.
A diretriz é e o foco está em . A distância entre eles é:
Como a parábola está horizontal e o foco está à direita da diretriz, .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vértice . O vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz.
A coordenada do vértice é:
A coordenada do vértice é a mesma do foco, já que a diretriz é vertical:
Passo 6
Com , e , substituímos na equação da parábola:
Simplificando:
Passo 7
Para esboçar o gráfico, vamos identificar pontos importantes:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
A parábola abre para a direita, já que . Podemos traçar a parábola usando a equação , passando pelo vértice e abrindo na direção do foco.