Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Foco: ; diretriz:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a equação reduzida de uma parábola e esboçar o gráfico, sabendo que o foco está no ponto e a diretriz é a reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Precisamos entender a relação entre o foco, a diretriz e a equação da parábola para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é e a diretriz é , que podemos reescrever como .
Como a diretriz é uma reta vertical ( ), a parábola será horizontal, ou seja, abrirá para a direita ou para a esquerda.

Passo 3

Para uma parábola horizontal com vértice em , a equação reduzida é dada por:
onde:
  • é a distância do vértice ao foco (se , a parábola abre para a direita; se , para a esquerda),
  • é o vértice da parábola.
Precisamos encontrar , e .

Passo 4

Sabemos que a distância entre o vértice e o foco é , e essa mesma distância está entre o vértice e a diretriz. Vamos achar essa distância.
A diretriz é e o foco está em . A distância entre eles é:
Como a parábola está horizontal e o foco está à direita da diretriz, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vértice . O vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz.
A coordenada do vértice é:
A coordenada do vértice é a mesma do foco, já que a diretriz é vertical:

Passo 6

Com , e , substituímos na equação da parábola:
Simplificando:

Passo 7

Para esboçar o gráfico, vamos identificar pontos importantes:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
A parábola abre para a direita, já que . Podemos traçar a parábola usando a equação , passando pelo vértice e abrindo na direção do foco.

Resposta

A equação reduzida da parábola é:

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Resolva os sistemas utilizando escalonamento.
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Determine as equações das retas paralelas a que distam 5 unidades de .
Sejam as matrizes , em que , e em que . Determine: