Resolva os sistemas utilizando escalonamento.
3 x+2 y-3 z & =18 2 x-4 y+4 z & =12 -4 x+3 y-5 z & =-24

Passo 1

Estamos lidando com um sistema de equações lineares que envolve três variáveis: , e . O objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Vamos usar o método de escalonamento, também conhecido como eliminação de Gauss, para resolver esse sistema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de matriz aumentada para facilitar as operações:
3 & 2 & -3 & | & 18 2 & -4 & 4 & | & 12 -4 & 3 & -5 & | & -24

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal (linha de cima para baixo e da esquerda para a direita) teremos apenas zeros. Isso facilita a resolução das equações. Começamos pela primeira coluna.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 3:
1 & 23 & -1 & | & 6 2 & -4 & 4 & | & 12 -4 & 3 & -5 & | & -24

Passo 4

Agora, queremos eliminar os números abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Fazemos isso ajustando as outras linhas:
  • Para a segunda linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
    Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1
1 & 23 & -1 & | & 6 0 & -143 & 6 & | & 0 -4 & 3 & -5 & | & -24
  • Para a terceira linha: Adicionamos 4 vezes a primeira linha à terceira linha.
    Linha3 = Linha3 + 4 × Linha1
1 & 23 & -1 & | & 6 0 & -143 & 6 & | & 0 0 & 113 & -9 & | & 0

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna da segunda linha. Queremos que o elemento principal seja 1 para facilitar a eliminação. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 23 & -1 & | & 6 0 & 1 & -97 & | & 0 0 & 113 & -9 & | & 0 :
Linha2 = × Linha2

Passo 6

Com o elemento principal da segunda coluna igual a 1, vamos eliminar o número abaixo dele na terceira linha. Para isso, subtraímos 1 & 23 & -1 & | & 6 0 & 1 & -97 & | & 0 0 & 0 & -307 & | & 0 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - × Linha2

Passo 7

Agora, temos uma matriz triangular. Podemos resolver o sistema começando de baixo para cima.
  • Terceira equação:
    -307 z = 0 implies z = 0
  • Segunda equação:
    Substituímos y - 97 times 0 = 0 implies y = 0 na segunda equação:
    x + 23 times 0 - 1 times 0 = 6 implies x = 6
  • Primeira equação:
    Substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 6, y = 0, z = 0

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