Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar tal que .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois pares de matrizes, e , e precisamos encontrar uma matriz elementar que, quando multiplicada por , resulte em . Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao uso de matrizes elementares para realizar operações em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes elementares. Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade ao realizar uma única operação elementar de linha. As operações elementares podem ser:
Troca de duas linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações pode ser representada por uma matriz elementar específica.
Passo 3
Agora, o objetivo é descobrir qual dessas operações foi aplicada na matriz para transformá-la na matriz . Para isso, vamos comparar e e identificar qual operação foi realizada.
Vamos supor, por exemplo, que a transformação de para foi feita trocando a primeira e a segunda linha de . Nesse caso, a matriz elementar seria a matriz identidade com as duas primeiras linhas trocadas.
Passo 4
Vamos construir a matriz elementar . Se estivermos trabalhando com matrizes 3x3, por exemplo, e a operação foi trocar a primeira e a segunda linha, a matriz ficará assim:
Passo 5
Por fim, para confirmar que E cdot A = B realmente transforma em , fazemos a multiplicação:
Se a multiplicação resultar na matriz desejada, então encontramos a matriz elementar correta.
Resposta
A matriz elementar E = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 que satisfaz a equação é: