Determine uma base para o espaço vetorial:
S=(x, y, z) in R^3, x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base para o espaço vetorial , que consiste em todos os vetores em que satisfazem a equação . Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que . Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor (x, -x, z) = x cdot (1, -1, 0) + z cdot (0, 0, 1) em termos de e . Podemos separar as componentes:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 4

Para formar uma base, precisamos que esses vetores sejam linearmente independentes. Vamos verificar isso:
Se a = 0, -a = 0, b = 0 , então:
A única solução é , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o espaço vetorial é .

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