Determine uma base para o espaço vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base para o espaço vetorial
, que consiste em todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
. Então, qualquer vetor
em
pode ser escrito como
.
Passo 3
Agora, vamos expressar o vetor
em termos de
e
. Podemos separar as componentes:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 4
Para formar uma base, precisamos que esses vetores sejam linearmente independentes. Vamos verificar isso:
Se , então:
Se
A única solução é
, o que confirma que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para o espaço vetorial
é
.