Determine uma base para o espaço vetorial:
S=(x, y, z) in R^3, y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o espaço vetorial que consiste em todos os vetores em onde . Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse conjunto de vetores de forma que possamos identificar uma base que o gera.

Passo 2

Primeiro, vamos captar o que significa . Isso nos diz que, para qualquer vetor em , o valor de depende diretamente de e é o dobro dele. Então, podemos escrever , mas pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos expressar os vetores de (x, y, z) = ( x, 2x, z ) de uma forma que destaque essa relação. Podemos parametrizar x cdot (1, 2, 0) + z cdot (0, 0, 1) escolhendo e como parâmetros livres. Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso é o mesmo que:

Passo 4

Aqui, identificamos dois vetores que estão sendo “multiplicados” pelos parâmetros e : e . Esses vetores vão servir como os “blocos de construção” para todo o espaço .

Passo 5

Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
  1. Linearmente Independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente, e não são múltiplos um do outro.
  2. Geram : Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles, como mostramos no Passo 3.

Passo 6

Como os dois vetores satisfazem os critérios, concluímos que eles formam uma base para .

Resposta

Uma base para o espaço vetorial , (1, 2, 0), (0, 0, 1) , é:

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