Determine uma base para o espaço vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o espaço vetorial
que consiste em todos os vetores
em
onde
. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse conjunto de vetores de forma que possamos identificar uma base que o gera.
Passo 2
Primeiro, vamos captar o que significa
. Isso nos diz que, para qualquer vetor
em
, o valor de
depende diretamente de
e é o dobro dele. Então, podemos escrever
, mas
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos expressar os vetores de
de uma forma que destaque essa relação. Podemos parametrizar
escolhendo
e
como parâmetros livres. Assim, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso é o mesmo que:
Passo 4
Aqui, identificamos dois vetores que estão sendo “multiplicados” pelos parâmetros
e
:
e
. Esses vetores vão servir como os “blocos de construção” para todo o espaço
.
Passo 5
Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
.
-
Linearmente Independentes: Nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Claramente,
e não são múltiplos um do outro. -
Geram
: Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear deles, como mostramos no Passo 3.
Passo 6
Como os dois vetores satisfazem os critérios, concluímos que eles formam uma base para
.
Resposta
Uma base para o espaço vetorial
é: