Determine uma base para o espaço vetorial:
S=(x, y, x) in R^3, x, y in R

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores . O objetivo é encontrar uma base para esse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de base, espaço vetorial, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os vetores que pertencem a (x, y, x) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, 0) . Cada vetor em tem a forma , onde e são números reais. Podemos reescrever esse vetor como uma combinação linear de dois vetores fixos:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido combinando os vetores e .

Passo 3

Agora, identificamos os vetores e como candidatos a gerar o espaço . Para confirmar que eles formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear. Suponha que existam escalares a cdot (1, 0, 1) + b cdot (0, 1, 0) = (0, 0, 0) e a = 0 b = 0 a = 0 tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores e são linearmente independentes e geram o espaço , eles formam uma base para .

Resposta

Uma base para o espaço vetorial é composta pelos vetores e .

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