Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores . O objetivo é encontrar uma base para esse espaço vetorial. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de base, espaço vetorial, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os vetores que pertencem a . Cada vetor em tem a forma , onde e são números reais. Podemos reescrever esse vetor como uma combinação linear de dois vetores fixos:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser obtido combinando os vetores e .
Passo 3
Agora, identificamos os vetores e como candidatos a gerar o espaço . Para confirmar que eles formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear. Suponha que existam escalares e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores e são linearmente independentes e geram o espaço , eles formam uma base para .
Resposta
Uma base para o espaço vetorial é composta pelos vetores e .