No espaço vetorial usual (P2,+, cdot), escreva o vetor 2-t^2 como combinação linear dos vetores u=1+t, v=1-t+t^2 e w=1-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever o polinômio como uma combinação linear dos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinação linear e espaços vetoriais. Vamos precisar usar equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe alguma combinação linear desses vetores que dá 2 - t^2 = a(1 + t) + b(1 - t + t^2) + c(1 - t^2) . Ou seja, queremos achar números , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes 2 - t^2 = a cdot 1 + a cdot t + b cdot 1 + b cdot (-t) + b cdot t^2 + c cdot 1 + c cdot (-t^2) , 2 - t^2 = (a + b + c) + (a - b)t + (b - c)t^2 e dentro dos parênteses. Isso significa multiplicar cada vetor pelo seu respectivo coeficiente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação. Isso significa que:
  • O termo constante: a + b + c = 2 a - b = 0 b - c = -1
  • O termo com :
  • O termo com :
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, b + b + c = 2 Rightarrow 2b + c = 2 , podemos ver que c = b + 1 .
Agora, substituímos 2b + (b + 1) = 2 Rightarrow 3b + 1 = 2 Rightarrow 3b = 1 Rightarrow b = 13 na primeira equação:
a = b = 13
E também, da terceira equação, c = b + 1 = 13 + 1 = 43 , podemos isolar :
Substituindo na equação :
Agora que temos , podemos encontrar e :

Resposta

Então, 2 - t^2 = 13(1 + t) + 13(1 - t + t^2) + 43(1 - t^2) pode ser escrito como:

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