No espaço vetorial usual , escreva o vetor como combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever o polinômio como uma combinação linear dos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre combinação linear e espaços vetoriais. Vamos precisar usar equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe alguma combinação linear desses vetores que dá . Ou seja, queremos achar números , e tais que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses. Isso significa multiplicar cada vetor pelo seu respectivo coeficiente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação. Isso significa que:
O termo constante:
O termo com :
O termo com :
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, b + b + c = 2 Rightarrow 2b + c = 2 , podemos ver que c = b + 1 .
Agora, substituímos 2b + (b + 1) = 2 Rightarrow 3b + 1 = 2 Rightarrow 3b = 1 Rightarrow b = 13 na primeira equação:
a = b = 13
E também, da terceira equação, c = b + 1 = 13 + 1 = 43 , podemos isolar :
Substituindo na equação :
Agora que temos , podemos encontrar e :
Resposta
Então, 2 - t^2 = 13(1 + t) + 13(1 - t + t^2) + 43(1 - t^2) pode ser escrito como: