Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar uma matriz elementar que, quando multiplicada pela matriz , resulta na matriz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes elementares que representam operações básicas de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas matrizes A = 4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 -2 & 3 & 1 , B = 4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 0 & 3 & 5 e :
Perceba que as duas primeiras linhas são iguais em e . A diferença está na terceira linha.
Passo 3
Vamos ver qual operação foi feita para transformar a terceira linha de Nova Terceira Linha = Terceira Linha + 2 times Segunda Linha na terceira linha de -2 + 2 times 1 = 0 . A terceira linha de 3 + 2 times 0 = 3 é 1 + 2 times 2 = 5 e queremos que ela vire .
Para isso, podemos pensar em adicionar uma múltipla de uma das outras linhas a essa terceira linha. Vamos tentar adicionar duas vezes a segunda linha de à terceira linha:
Calculando:
Isso resulta na terceira linha , que é exatamente o que queremos!
Passo 4
Agora que identificamos a operação, vamos construir a matriz elementar E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 que representa essa operação. Uma matriz elementar que adiciona vezes a segunda linha à terceira linha tem a seguinte forma:
Aqui, os 's na diagonal permanecem iguais, e o na posição indica que estamos adicionando vezes a segunda linha à terceira linha.
Resposta
A matriz elementar E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 que satisfaz é: