Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que E A=B.
© A=(rrr4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 -2 & 3 & 1)
B=(rrr4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 0 & 3 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas matrizes, e , e precisa encontrar uma matriz elementar que, quando multiplicada pela matriz , resulta na matriz . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes elementares que representam operações básicas de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas matrizes A = 4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 -2 & 3 & 1 , B = 4 & -2 & 3 1 & 0 & 2 0 & 3 & 5 e :
Perceba que as duas primeiras linhas são iguais em e . A diferença está na terceira linha.

Passo 3

Vamos ver qual operação foi feita para transformar a terceira linha de Nova Terceira Linha = Terceira Linha + 2 times Segunda Linha na terceira linha de -2 + 2 times 1 = 0 . A terceira linha de 3 + 2 times 0 = 3 é 1 + 2 times 2 = 5 e queremos que ela vire .
Para isso, podemos pensar em adicionar uma múltipla de uma das outras linhas a essa terceira linha. Vamos tentar adicionar duas vezes a segunda linha de à terceira linha:
Calculando:
Isso resulta na terceira linha , que é exatamente o que queremos!

Passo 4

Agora que identificamos a operação, vamos construir a matriz elementar E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 que representa essa operação. Uma matriz elementar que adiciona vezes a segunda linha à terceira linha tem a seguinte forma:
Aqui, os 's na diagonal permanecem iguais, e o na posição indica que estamos adicionando vezes a segunda linha à terceira linha.

Resposta

A matriz elementar E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 que satisfaz é:

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