Seja S=1,2,3,4 com a ordem <= usual. Considere em S times S a ordem lexicográfica preccurlyeq. Encontre todos os elementos de S times S maiores do que (3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto com a ordem usual ( ). Queremos trabalhar no produto cartesiano usando a ordem lexicográfica ( ). O objetivo é encontrar todos os pares em que são maiores do que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ordem lexicográfica. É como a ordem do dicionário: a gente compara o primeiro elemento dos pares; se eles forem iguais, aí compara o segundo.
Então, para um par ser maior que , tem que acontecer uma das duas coisas:
  1. e
Vamos usar isso para encontrar todos os pares que satisfazem uma dessas condições.

Passo 3

Vamos listar os pares de (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) :
Agora, vamos verificar quais desses pares são maiores que seguindo as duas condições que mencionamos.

Passo 4

Primeira condição ( (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) ):
  • (3,2), (3,3), (3,4) . Então, qualquer par onde pode ser 1, 2, 3 ou 4, será maior que .
Os pares que atendem a essa condição são:
Segunda condição ( e ):
  • Aqui, , então precisamos que seja maior que 1, ou seja, 2, 3 ou 4.
Os pares que atendem a essa condição são:

Resposta

Os elementos de (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) que são maiores que na ordem lexicográfica são:

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