Determine para que o conjunto seja linearmente independente.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de três vetores: , e . A questão quer saber para quais valores de esses vetores não dependem uns dos outros, ou seja, são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde, para nossa matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i = 2 & 1 & -1 -3 & 0 & 3 2m & m+4 & m-2
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do determinante:
det(A) = 2 times (0 times (m-2) - 3 times (m+4)) - 1 times (-3 times (m-2) - 3 times 2m) + (-1) times (-3 times (m+4) - 0 times 2m)
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
2 times (0 times (m-2) - 3 times (m+4)) = 2 times (0 - 3m - 12) = 2 times (-3m -12) = -6m -24
Segundo termo:
-1 times (-3 times (m-2) - 3 times 2m) = -1 times (-3m +6 -6m) = -1 times (-9m +6) = 9m -6
Terceiro termo:
-1 times (-3 times (m+4) - 0 times 2m) = -1 times (-3m -12 -0) = -1 times (-3m -12) = 3m +12