Determine m para que o conjunto (2,-3,2 m),(1,0, m+4),(-1,3, m-2) seja linearmente independente.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três vetores: (2, -3, 2m), (1, 0, m+4) e (-1, 3, m-2). A questão quer saber para quais valores de m esses vetores não dependem uns dos outros, ou seja, são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
A = 2 & 1 & -1 -3 & 0 & 3 2m & m+4 & m-2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde, para nossa matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i = 2 & 1 & -1 -3 & 0 & 3 2m & m+4 & m-2

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula do determinante:
det(A) = 2 times (0 times (m-2) - 3 times (m+4)) - 1 times (-3 times (m-2) - 3 times 2m) + (-1) times (-3 times (m+4) - 0 times 2m)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
2 times (0 times (m-2) - 3 times (m+4)) = 2 times (0 - 3m - 12) = 2 times (-3m -12) = -6m -24
  1. Segundo termo:
-1 times (-3 times (m-2) - 3 times 2m) = -1 times (-3m +6 -6m) = -1 times (-9m +6) = 9m -6
  1. Terceiro termo:
-1 times (-3 times (m+4) - 0 times 2m) = -1 times (-3m -12 -0) = -1 times (-3m -12) = 3m +12

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
-6m -24 + 9m -6 + 3m +12 = (-6m +9m +3m) + (-24 -6 +12) = 6m -18

Passo 7

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
6m -18 neq 0
Resolvendo para m:
6m neq 18 m neq 3

Resposta

O conjunto de vetores é linearmente independente para todo valor de m, exceto quando m = 3.

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