Determine se o conjunto (x1, x2): x1+x2=0 é um subespaço de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para descobrir se o conjunto é um subespaço de . Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em 0 + 0 = 0 é . Vamos verificar se ele satisfaz a equação :
Então, o vetor zero está no conjunto. Essa é a primeira condição atendida.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores arbitrários (a + c, b + d) e a + c + b + d = (a + b) + (c + d) = 0 + 0 = 0 no conjunto. Então, e .
Somando esses vetores:
Precisamos que . Vamos verificar:
Então, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. A segunda condição é satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos pegar um vetor arbitrário k cdot (a, b) = (k a, k b) no conjunto, onde k a + k b = k(a + b) = k cdot 0 = 0 , e multiplicá-lo por um escalar :
Precisamos que . Vamos verificar:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação , ou seja, pertence ao conjunto. A terceira condição está atendida.

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de .

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