Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Isso está ligado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz a equação
:
Então, o vetor zero está no conjunto. Essa é a primeira condição atendida.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores arbitrários
e
no conjunto. Então,
e
.
Somando esses vetores:
Precisamos que
. Vamos verificar:
Então, a soma de dois vetores do conjunto também pertence ao conjunto. A segunda condição é satisfeita.
Passo 4
Por último, vamos checar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos pegar um vetor arbitrário
no conjunto, onde
, e multiplicá-lo por um escalar
:
Precisamos que
. Vamos verificar:
Portanto, o vetor resultante também satisfaz a equação
, ou seja, pertence ao conjunto. A terceira condição está atendida.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço de
.