Se o sistema de equações
r x+y+4 z=2 x+2 y+7 z=3 3 x+y+a z=b
possui infinitas soluções reais, seja possível e indeterminado, o valor de a+b é igual a
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está nos dizendo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas r x + y + 4z = 2 x + 2y + 7z = 3 3x + y + a z = b , e :
Queremos encontrar os valores de e de forma que esse sistema tenha infinitas soluções reais. Para que isso aconteça, as equações precisam ser dependentes, ou seja, uma das equações deve ser uma combinação linear das outras. Vamos usar métodos de álgebra linear, como a comparação de coeficientes, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para simplificar o sistema. Isso vai nos ajudar a eliminar uma das variáveis:
(x + 2y + 7z) - (x + y + 4z) &= 3 - 2 x + 2y + 7z - x - y - 4z &= 1 y + 3z &= 1 (Equação 4) çã
Agora, temos uma nova equação que simplifica nosso sistema.

Passo 3

Vamos agora expressar y = 1 - 3z em termos de a partir da Equação 4:
Com isso, podemos substituir na primeira e na terceira equações para reduzir o número de incógnitas.

Passo 4

Substituindo x + (1 - 3z) + 4z = 2 x + 1 - 3z + 4z = 2 x + 1 + z = 2 x + z = 1 (Equação 5) na primeira equação:
x = 1 - z çã
Agora, temos , o que nos permite expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos 3(1 - z) + (1 - 3z) + a z = b 3 - 3z + 1 - 3z + a z = b 4 - 6z + a z = b e ( a - 6 ) z + 4 = b na terceira equação do sistema original:
Vamos reorganizar os termos:

Passo 6

Para que o sistema tenha infinitas soluções, a equação resultante acima deve ser equivalente a uma das equações anteriores, ou seja, deve ser uma identidade. Isso significa que os coeficientes de a - 6 = 0 e 4 = b e os termos constantes devem satisfazer:
a = 6 b = 4
Resolvendo essas equações:

Passo 7

Finalmente, somamos os valores de a + b = 6 + 4 = 10 e :

Resposta

a) 10

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