Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que E A=B.
(b) A=(rrr2 & 1 & 3 -2 & 4 & 5 3 & 1 & 4), B=(rrr2 & 1 & 3 3 & 1 & 4 -2 & 4 & 5)

Passo 1

Beleza, então a questão pede pra gente encontrar uma matriz elementar que, quando multiplicada pela matriz , resulta na matriz . A gente vai usar o conteúdo de operações elementares com matrizes para resolver isso. Primeiro, vamos entender como passar de para usando uma única operação elementar.

Passo 2

Vamos começar observando as matrizes A = 2 & 1 & 3 -2 & 4 & 5 3 & 1 & 4 , B = 2 & 1 & 3 3 & 1 & 4 -2 & 4 & 5 e :
Perceba que as linhas 2 e 3 de foram trocadas para formar . Então, a operação que precisamos é uma troca de linhas.

Passo 3

Sabemos que uma matriz elementar para troca de duas linhas é uma matriz identidade onde duas linhas são permutadas. No nosso caso, queremos trocar a linha 2 com a linha 3. Vamos construir essa matriz.
A matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 de ordem 3 é:
E = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0
Para trocar a linha 2 com a linha 3, simplesmente trocamos a segunda e terceira linhas de :

Passo 4

Vamos verificar se essa matriz E cdot A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 2 & 1 & 3 -2 & 4 & 5 3 & 1 & 4 realmente funciona multiplicando E cdot A = 2 & 1 & 3 3 & 1 & 4 -2 & 4 & 5 = B por :
Fazendo a multiplicação:
  • Primeira linha de com : , , .
  • Segunda linha de com : , , .
  • Terceira linha de com : , , .
Então, temos:

Resposta

A matriz elementar E = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 que satisfaz é:

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