Sejam os vetores u=(3,-1) e v=(-6,2).
c) É possível escrever o vetor w=(a, b) como combinação linear de u e v ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o vetor w = (a, b) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u = (3, -1) e v = (-6, 2). Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinação linear e como montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam os vetores u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizer que w é uma combinação linear de u e v significa que existem números (chamados de coeficientes) alpha e beta tais que:
w = alpha u + beta v
Substituindo os vetores pelos seus componentes, temos:
(a, b) = alpha (3, -1) + beta (-6, 2)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes:
(a, b) = (alpha cdot 3 + beta cdot (-6), alpha cdot (-1) + beta cdot 2)
O que nos dá o sistema de equações:
3alpha - 6beta = a -1alpha + 2beta = b

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar valores para alpha e beta que satisfaçam ambas as equações. Para isso, podemos resolver o sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da substituição.
Primeiro, da segunda equação, podemos isolar alpha:
-1alpha + 2beta = b Rightarrow alpha = 2beta - b

Passo 5

Agora, substituímos o valor de alpha encontrado na primeira equação:
3alpha - 6beta = a 3(2beta - b) - 6beta = a 6beta - 3b - 6beta = a -3b = a

Passo 6

A equação resultante é -3b = a. Isso significa que, para existir uma combinação linear que represente w, os componentes a e b devem satisfazer essa relação.

Passo 7

Portanto, w = (a, b) pode ser escrito como combinação linear de u e v se e somente se a = -3b.

Resposta

Sim, o vetor w = (a, b) pode ser escrito como uma combinação linear de u e v se e somente se a = -3b.

Exercícios relacionados