Sejam os vetores
e
.
c) É possível escrever o vetor
como combinação linear de
e
?
c) É possível escrever o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinação linear e como montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam os vetores
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizer que
é uma combinação linear de
e
significa que existem números (chamados de coeficientes)
e
tais que:
Substituindo os vetores pelos seus componentes, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
O que nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar valores para
e
que satisfaçam ambas as equações. Para isso, podemos resolver o sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar o método da substituição.
Primeiro, da segunda equação, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos o valor de
encontrado na primeira equação:
Passo 6
A equação resultante é
. Isso significa que, para existir uma combinação linear que represente
, os componentes
e
devem satisfazer essa relação.
Passo 7
Portanto,
pode ser escrito como combinação linear de
e
se e somente se
.
Resposta
Sim, o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
se e somente se
.