Prove que se
e
forem totalmente totalmente ordenados, então
também é.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos ordenados chamados
e
, e ambos são totalmente ordenados. A pergunta quer que a gente prove que o par
, onde
é algum tipo de combinação desses conjuntos e
é a relação de ordem que a gente vai definir sobre
, também é totalmente ordenado.
Passo 2
Primeiro, o que é um conjunto totalmente ordenado? É um conjunto onde todo par de elementos é comparável. Ou seja, para quaisquer dois elementos
e
do conjunto, ou
ou
(ou seja,
é menor ou igual a
, ou vice-versa).
Passo 3
Agora, vamos pensar em como combinar
e
para formar
. A maneira mais comum de fazer isso é usando o produto cartesiano, que resulta em pares ordenados. Então,
. Cada elemento de
é um par
, onde
e
.
Passo 4
Precisamos definir a relação de ordem
em
. Vamos usar a ordenação lexicográfica, que é como a ordem de palavras no dicionário. Dizemos que
se:
-
, ou -
e .
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
é totalmente ordenado. Precisamos verificar que para quaisquer dois pares
e
em
, ou
ou
.
Como
é totalmente ordenado pela relação
, para
e
, ou
ou
.
-
Caso 1: Se
, então . -
Caso 2: Se
, então . -
Caso 3: Se
, então como é totalmente ordenado pela relação , ou ou . Assim, ou .
Em todos os casos, os pares são comparáveis.
Resposta
Portanto, mostramos que
é um conjunto totalmente ordenado usando a ordenação lexicográfica, dado que
e
são totalmente ordenados.