Prove que se (A1, R1) e (A2, R2) forem totalmente totalmente ordenados, então (A, R) também é.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos ordenados chamados e , e ambos são totalmente ordenados. A pergunta quer que a gente prove que o par , onde é algum tipo de combinação desses conjuntos e é a relação de ordem que a gente vai definir sobre , também é totalmente ordenado.

Passo 2

Primeiro, o que é um conjunto totalmente ordenado? É um conjunto onde todo par de elementos é comparável. Ou seja, para quaisquer dois elementos e do conjunto, ou ou (ou seja, é menor ou igual a , ou vice-versa).

Passo 3

Agora, vamos pensar em como combinar e para formar . A maneira mais comum de fazer isso é usando o produto cartesiano, que resulta em pares ordenados. Então, . Cada elemento de é um par , onde e .

Passo 4

Precisamos definir a relação de ordem em . Vamos usar a ordenação lexicográfica, que é como a ordem de palavras no dicionário. Dizemos que se:
  • , ou
  • e .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que é totalmente ordenado. Precisamos verificar que para quaisquer dois pares e em , ou ou .
Como é totalmente ordenado pela relação , para e , ou ou .
  • Caso 1: Se , então .
  • Caso 2: Se , então .
  • Caso 3: Se , então como é totalmente ordenado pela relação , ou ou . Assim, ou .
Em todos os casos, os pares são comparáveis.

Resposta

Portanto, mostramos que é um conjunto totalmente ordenado usando a ordenação lexicográfica, dado que e são totalmente ordenados.

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