Determine uma base para o espaço vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial
definido por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Vamos precisar entender como expressar os vetores em
de forma que a gente possa identificar vetores que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação
. Ela impõe uma condição que os componentes
e
dos vetores em
devem satisfazer. Nosso objetivo é expressar
em termos de
e
para facilitar a construção da base.
Passo 3
Resolvendo a equação para
, temos:
Isso nos mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Aqui,
,
e
são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Passo 4
Agora, vamos reescrever esse vetor em termos das variáveis livres:
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser formado por uma combinação linear desses três vetores.
Passo 5
Os vetores que multiplicam as variáveis livres são:
Esses vetores são candidatos a formar uma base para
.
Passo 6
Para confirmar que
,
e
formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, então eles formam uma base para
.
Passo 7
De fato, esses três vetores são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Além disso, eles satisfazem a equação
, já que:
Resposta
Uma base para o espaço vetorial
é formada pelos vetores: