Determine uma base para o espaço vetorial:
S=(x, y, z, w) in R^3, x-3 y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial S = (x, y, z, w) in R^4 mid x - 3y + z = 0 definido por:
Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre bases de espaços vetoriais. Vamos precisar entender como expressar os vetores em de forma que a gente possa identificar vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação . Ela impõe uma condição que os componentes e dos vetores em devem satisfazer. Nosso objetivo é expressar em termos de e para facilitar a construção da base.

Passo 3

Resolvendo a equação para x = 3y - z , temos:
(x, y, z, w) = (3y - z, y, z, w)
Isso nos mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como:
Aqui, , e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.

Passo 4

Agora, vamos reescrever esse vetor em termos das variáveis livres:
(3y - z, y, z, w) = y cdot (3, 1, 0, 0) + z cdot (-1, 0, 1, 0) + w cdot (0, 0, 0, 1)
Isso significa que qualquer vetor em pode ser formado por uma combinação linear desses três vetores.

Passo 5

Os vetores que multiplicam as variáveis livres são:
v1 &= (3, 1, 0, 0) v2 &= (-1, 0, 1, 0) v3 &= (0, 0, 0, 1)
Esses vetores são candidatos a formar uma base para .

Passo 6

Para confirmar que , e formam uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, então eles formam uma base para .

Passo 7

De fato, esses três vetores são linearmente independentes porque nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Além disso, eles satisfazem a equação 3(1) - 1(1) + 0 = 0 -1(0) - 0(0) + 1(1) = 0 0(0) - 0(0) + 0(0) = 0 , já que:

Resposta

Uma base para o espaço vetorial , (3,;1,;0,;0),;, (-1,;0,;1,;0),;, (0,;0,;0,;1) , é formada pelos vetores:

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