Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendo e .
(a) .
(b) e
© e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção de vetores! A gente tem três pares de vetores diferentes, e para cada par, precisamos encontrar a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro. Além disso, vamos decompor o vetor em duas partes: uma que é paralela a e outra que é perpendicular a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto escalar e fórmulas de projeção.

Passo 2

Parte (a): e

Passo 3

A fórmula para a projeção de sobre é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 4

Sabemos que:
Onde é a projeção que já calculamos, e é a diferença entre e :

Passo 5

Parte (b): e

Passo 6

Usando a mesma fórmula:
Calculando :
E :
Então,

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Parte ©: e

Passo 9

Aplicando a fórmula novamente:
Calculando :
E :
Então,

Passo 10

Calculando :

Resposta

(a) Projeção: ; Decomposição:
(b) Projeção: ; Decomposição:
© Projeção: ; Decomposição:

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e em .
(a) Escreva como combinação linear de e .
(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
© Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de ?
(d) Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.
Considere os vetores e . Represente geometricamente os vetores e .
Estude a posição relativa das retas e .
©