Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção de vetores! A gente tem três pares de vetores diferentes, e para cada par, precisamos encontrar a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro. Além disso, vamos decompor o vetor v em duas partes: uma que é paralela a u e outra que é perpendicular a u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto escalar e fórmulas de projeção.
Passo 2
Parte (a): u = (1, 2, -2) e v = (3, -2, 1)
Passo 3
A fórmula para a projeção de v sobre u é:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(3) + (2)(-2) + (-2)(1) = 3 - 4 - 2 = -3
Agora, calculamos u cdot u:
u cdot u = (1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Então,
proju v = ( -39 ) u = -13 u = -13(1, 2, -2) = ( -13, -23, 23 )
Passo 4
Sabemos que:
v = v1 + v2
Onde v1 é a projeção que já calculamos, e v2 é a diferença entre v e v1: