Para cada um dos pares de vetores u e v, encontrar a projeção ortogonal de v sobre u e decompor v como soma de v1 com v2, sendo v1 | u e v2 perp u.
(a) u=(1,2,-2) e v=(3,-2,1).
(b) u=(1,1,1) e v=(3,1,-1)
© u=(2,0,0) e v=(3,5,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de projeção de vetores! A gente tem três pares de vetores diferentes, e para cada par, precisamos encontrar a projeção ortogonal de um vetor sobre o outro. Além disso, vamos decompor o vetor v em duas partes: uma que é paralela a u e outra que é perpendicular a u. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial como produto escalar e fórmulas de projeção.

Passo 2

Parte (a): u = (1, 2, -2) e v = (3, -2, 1)

Passo 3

A fórmula para a projeção de v sobre u é:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(3) + (2)(-2) + (-2)(1) = 3 - 4 - 2 = -3
Agora, calculamos u cdot u:
u cdot u = (1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9
Então,
proju v = ( -39 ) u = -13 u = -13(1, 2, -2) = ( -13, -23, 23 )

Passo 4

Sabemos que:
v = v1 + v2
Onde v1 é a projeção que já calculamos, e v2 é a diferença entre v e v1:
v2 = v - v1 = ( 3, -2, 1 ) - ( -13, -23, 23 ) = ( 3 + 13, -2 + 23, 1 - 23 ) = ( 103, -43, 13 )

Passo 5

Parte (b): u = (1, 1, 1) e v = (3, 1, -1)

Passo 6

Usando a mesma fórmula:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Calculando u cdot v:
u cdot v = (1)(3) + (1)(1) + (1)(-1) = 3 + 1 - 1 = 3
E u cdot u:
u cdot u = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Então,
proju v = ( 33 ) u = 1 cdot u = (1, 1, 1)

Passo 7

Calculando v2:
v2 = v - v1 = (3, 1, -1) - (1, 1, 1) = (2, 0, -2)

Passo 8

Parte ©: u = (2, 0, 0) e v = (3, 5, 4)

Passo 9

Aplicando a fórmula novamente:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Calculando u cdot v:
u cdot v = (2)(3) + (0)(5) + (0)(4) = 6 + 0 + 0 = 6
E u cdot u:
u cdot u = 2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 + 0 + 0 = 4
Então,
proju v = ( 64 ) u = 32 u = 32(2, 0, 0) = (3, 0, 0)

Passo 10

Calculando v2:
v2 = v - v1 = (3, 5, 4) - (3, 0, 0) = (0, 5, 4)

Resposta

(a) Projeção: ( -13, -23, 23 ); Decomposição: v = ( -13, -23, 23 ) + ( 103, -43, 13 )
(b) Projeção: (1, 1, 1); Decomposição: v = (1, 1, 1) + (2, 0, -2)
© Projeção: (3, 0, 0); Decomposição: v = (3, 0, 0) + (0, 5, 4)

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