Sejam os vetores e em .
(a) Escreva como combinação linear de e .
(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
© Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de ?
(d) Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , no espaço tridimensional . A missão é descobrir como outros vetores podem ser formados combinando esses dois vetores, ou seja, encontrando constantes que, quando multiplicadas por e e somadas, dão o vetor desejado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver sistemas de equações.

Parte (a): Escreva como combinação linear de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar como combinação linear de e . Queremos encontrar números escalares e tais que:
Isso dá a gente o sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos começar com as duas primeiras equações:
  1. → Podemos isolar :
Substituindo na segunda equação:

Passo 4

Agora que temos , substituímos na expressão de :

Passo 5

Vamos conferir na terceira equação para garantir que está tudo certo:
Confere! Então, os valores encontrados são e .

Resposta

O vetor pode ser escrito como combinação linear de e da seguinte forma:

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Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam perpendiculares.
Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendo e .
(a) .
(b) e
© e .
Considere os vetores e . Represente geometricamente os vetores e .