Estude a posição relativa das retas r e s.
© r: x+32=y-14=z s:l2 x-y+7=0 x+y-6 z=-2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente estude a posição relativa das retas e no espaço tridimensional. Isso envolve entender se as retas são paralelas, se elas se interceptam ou se são “compatriotas” (termanoidas) que nunca se encontram e não são paralelas. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das retas e verificar se existe um ponto em comum entre elas ou se elas são paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas. A reta x + 32 = y - 14 = z está na forma simétrica:
x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t
Isso significa que podemos expressar 2x - y + 7 = 0 x + y - 6z = -2 e em função de um parâmetro, digamos :
Já a reta está definida por um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as equações paramétricas da reta .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para a reta 2x - y + 7 = 0 Rightarrow y = 2x + 7 . Primeiramente, da primeira equação:
x + (2x + 7) - 6z = -2 3x + 7 - 6z = -2 3x - 6z = -9 x - 2z = -3 x = 2z - 3
Agora, substituímos z = t x = 2t - 3 y = 2(2t - 3) + 7 = 4t - 6 + 7 = 4t + 1 na segunda equação:
x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t
Agora que temos em função de , podemos definir como o parâmetro :
Então, as equações paramétricas da reta são:

Passo 4

Agora, vamos comparar as equações paramétricas das retas x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t e x = 2t - 3 y = 4t + 1 z = t :
Para a reta :
Para a reta :
Percebemos que as equações são exatamente iguais! Isso significa que as retas e compartilham todos os pontos em comum, ou seja, elas são a mesma reta.

Resposta

As retas e coincidem, ou seja, são a mesma reta no espaço.

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