Sejam alpha: 2 x+B y+z+1=0, beta: x+y+z2+D=0, r: x-1=-y+23=z4 e s:lx=1+h y=h z=A, h in R. Determine, se possível: A, tal que r e s sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria espacial envolvendo duas retas, chamadas e . O objetivo é descobrir o valor de que faz essas duas retas serem coplanares, ou seja, que elas estejam no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e condições de coplanaridade. Vamos precisar entender vetores direcionais das retas e como verificar se eles estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as retas x - 11 = -(y + 2)3 = z4 e x = 1 + t, y = -2 - 3t, z = 4t na forma paramétrica para facilitar o trabalho. A reta x = 1 + h, y = h, z = A está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
A reta já está quase na forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro, e observamos que é constante igual a .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. Para a reta u = 1 -3 4 , o vetor direcional v = 1 1 0 é dado pelos coeficientes dos parâmetros:
Para a reta , como é constante, o vetor direcional é:

Passo 4

Para verificar se as retas Pr = (1, -2, 0) e Ps = (1, 0, A) são coplanares, precisamos usar a condição de coplanaridade de vetores. Dois vetores são coplanares se o produto misto entre eles e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta for zero.
Vamos escolher um ponto em cada reta. Para w = Ps - Pr = 1 - 1 0 - (-2) A - 0 = 0 2 A , quando :
Para , quando :
O vetor que liga a é:

Passo 5

Agora, calculamos o produto misto v times w = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 2 & A = i(1 cdot A - 0 cdot 2) - j(1 cdot A - 0 cdot 0) + k(1 cdot 2 - 1 cdot 0) = A -A 2 . Primeiro, encontramos o produto vetorial u cdot A -A 2 = 1 cdot A + (-3) cdot (-A) + 4 cdot 2 = A + 3A + 8 = 4A + 8 :
Agora, o produto escalar :

Passo 6

Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
4A + 8 = 0
Resolvendo para 4A = -8 implies A = -2 :

Resposta

O valor de que torna as retas e coplanares é .

Exercícios relacionados