Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria espacial envolvendo duas retas, chamadas e . O objetivo é descobrir o valor de que faz essas duas retas serem coplanares, ou seja, que elas estejam no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e condições de coplanaridade. Vamos precisar entender vetores direcionais das retas e como verificar se eles estão no mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as retas e na forma paramétrica para facilitar o trabalho. A reta está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
A reta já está quase na forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro, e observamos que é constante igual a .
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. Para a reta , o vetor direcional é dado pelos coeficientes dos parâmetros:
Para a reta , como é constante, o vetor direcional é:
Passo 4
Para verificar se as retas e são coplanares, precisamos usar a condição de coplanaridade de vetores. Dois vetores são coplanares se o produto misto entre eles e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta for zero.
Vamos escolher um ponto em cada reta. Para , quando :
Para , quando :
O vetor que liga a é:
Passo 5
Agora, calculamos o produto misto . Primeiro, encontramos o produto vetorial :
Agora, o produto escalar :
Passo 6
Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser zero: