Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria espacial envolvendo duas retas, chamadas e . O objetivo é descobrir o valor de que faz essas duas retas serem coplanares, ou seja, que elas estejam no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e condições de coplanaridade. Vamos precisar entender vetores direcionais das retas e como verificar se eles estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as retas e na forma paramétrica para facilitar o trabalho. A reta está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
A reta já está quase na forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro, e observamos que é constante igual a .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. Para a reta , o vetor direcional é dado pelos coeficientes dos parâmetros:
Para a reta , como é constante, o vetor direcional é:

Passo 4

Para verificar se as retas e são coplanares, precisamos usar a condição de coplanaridade de vetores. Dois vetores são coplanares se o produto misto entre eles e o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta for zero.
Vamos escolher um ponto em cada reta. Para , quando :
Para , quando :
O vetor que liga a é:

Passo 5

Agora, calculamos o produto misto . Primeiro, encontramos o produto vetorial :
Agora, o produto escalar :

Passo 6

Para que as retas sejam coplanares, o produto misto deve ser zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna as retas e coplanares é .

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam perpendiculares.
Calcule o valor de em cada caso:
(i) e são paralelas.
Sejam os vetores e em .
(a) Escreva como combinação linear de e .
(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
© Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de ?
(d) Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .
Para cada um dos pares de vetores e , encontrar a projeção ortogonal de sobre e decompor como soma de com , sendo e .
(a) .
(b) e
© e .