Em cada parte, calcule a integral (Ex.14)
integralc y cdot d x+z cdot d y-x cdot d z
ao longo da curva indicada.
5.3. A hélice x=cos (pi t), y=sen(pi t), z=t de (1,0,0) até (-1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de linha da função x = cos(pi t), y = sen(pi t), z = t ao longo de uma curva específica, que é uma hélice dada por:
Essa hélice vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de linha usando parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar ao longo da hélice. Isso é basicamente somar infinitesimais dessas expressões ao longo do caminho da hélice. Para facilitar, vamos parametrizar a curva usando o parâmetro .

Passo 3

A curva é dada por:
Onde x(t) = cos(pi t), y(t) = sen(pi t), z(t) = t varia de 0 a 1, já que quando , temos o ponto , e quando , chegamos em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = -pi sen(pi t), dydt = pi cos(pi t), dzdt = 1 , e em relação a , que são , e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na integral original, temos:
integralC y cdot dx + z cdot dy - x cdot dz = integral0^1 [ y(t) cdot dxdt + z(t) cdot dydt - x(t) cdot dzdt ] dt
Vamos substituir = integral0^1 [ sen(pi t) cdot (-pi sen(pi t)) + t cdot (pi cos(pi t)) - cos(pi t) cdot 1 ] dt , , , e as derivadas que calculamos:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos separar a integral em três partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Sabemos que , então:
-pi integral0^1 sen^2(pi t) dt
Segunda Integral:
= -pi integral0^1 1 - cos(2pi t)2 dt = -pi2 [ integral0^1 1 , dt - integral0^1 cos(2pi t) dt ]
Vamos usar integração por partes, onde = -pi2 [ 1 - sen(2pi t)2pi g|0^1 ] = -pi2 [ 1 - 0 ] = -pi2 e pi integral0^1 t cos(pi t) dt . Então, = pi [ t cdot sen(pi t)pi g|0^1 - integral0^1 sen(pi t)pi dt ] e :
= pi [ sen(pi)pi - 0 - 1pi ( -cos(pi t)pi g|0^1 ) ]
= pi [ 0 - 1pi ( -cos(pi)pi + cos(0)pi ) ]
Terceira Integral:

Passo 8

Agora, somamos as três partes:
-pi2 - 2pi + 0 = -pi2 - 2pi
Podemos deixar a resposta assim ou combinar os termos sobre um denominador comum:
= -pi^2 + 42pi

Resposta

A integral ao longo da hélice é igual a .

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