Em cada parte, calcule a integral (Ex.14)
ao longo da curva indicada.
5.3. A hélice
de
até
.
5.3. A hélice
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de linha da função
ao longo de uma curva específica, que é uma hélice dada por:
Essa hélice vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integração de linha usando parametrização da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
ao longo da hélice. Isso é basicamente somar infinitesimais dessas expressões ao longo do caminho da hélice. Para facilitar, vamos parametrizar a curva usando o parâmetro
.
Passo 3
A curva é dada por:
Onde
varia de 0 a 1, já que quando
, temos o ponto
, e quando
, chegamos em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
, que são
,
e
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na integral original, temos:
Vamos substituir
,
,
, e as derivadas que calculamos:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Podemos separar a integral em três partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Sabemos que , então:
Segunda Integral:
Vamos usar integração por partes, onde
e
. Então,
e :
Terceira Integral:
Passo 8
Agora, somamos as três partes:
Podemos deixar a resposta assim ou combinar os termos sobre um denominador comum:
Resposta
A integral ao longo da hélice é igual a
.