Calcule a integral de linha ao longo da curva C. (Ex 23 a 30)
7.5. integralc(x^2+y^2) cdot d x-x cdot d y
C: x^2+y^2=1, no sentido anti-horário de (1,0) até (0,1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é o círculo unitário , no sentido anti-horário, começando do ponto até . O conteúdo envolvido é cálculo de integrais de linha, e vamos precisar parametrizar a curva e aplicar as fórmulas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = cos theta y = sin theta . Como é o círculo unitário, podemos usar a parametrização em coordenadas polares:
onde varia de a para percorrer de a no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dx = -sin theta , dtheta dy = cos theta , dtheta e em relação a :

Passo 4

Substituímos essas expressões na integral original:
integralC ( x^2 + y^2 ) dx - x , dy = integral0^pi2 ( cos^2 theta + sin^2 theta )(- sin theta) - cos theta cdot cos theta , dtheta

Passo 5

Sabemos que integral0^pi2 (-sin theta) - cos^2 theta , dtheta . Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
  1. Para integral -sin theta , dtheta = cos theta gr|0^pi2 = cos( pi2 ) - cos(0) = 0 - 1 = -1 :
integral -cos^2 theta , dtheta = -integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = -( theta2 + sin 2theta4 ) gr|0^pi2 = -( pi4 + 0 ) = -pi4
  1. Para :
Usamos a identidade :

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
-1 - pi4 = -( 1 + pi4 )

Resposta

A integral de linha é igual a .

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