Em cada parte, calcule a integral (Ex.14)
integralc y cdot d x+z cdot d y-x cdot d z
ao longo da curva indicada.
5.1. 0 segmento de reta (0,0,0) até (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de linha do tipo:
integralc y cdot dx + z cdot dy - x cdot dz
Aqui, a curva é um segmento de reta que vai do ponto até . O conteúdo envolve cálculo de integrais de linha em multivariável, e para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva e substituir as variáveis na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t y = t z = t . Como é uma reta que vai de até , a gente pode usar um parâmetro que varia de 0 a 1 para descrever os pontos dessa reta.
A parametrização fica assim:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as diferenciais dx = dt dy = dt dz = dt , e em termos de . Derivando cada equação em relação a , temos:

Passo 4

Vamos substituir a parametrização e as diferenciais na integral original. A integral fica:
integral0^1 ( y cdot dx + z cdot dy - x cdot dz ) = integral0^1 ( t cdot dt + t cdot dt - t cdot dt )
Simplificando a expressão dentro da integral:
t cdot dt + t cdot dt - t cdot dt = t cdot dt
Então, a integral passa a ser:
integral0^1 t cdot dt

Passo 5

Vamos calcular essa integral simples:
integral0^1 t cdot dt = [ t^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12

Resposta

O valor da integral ao longo do segmento de reta de até é .

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