Em cada parte, calcule a integral (Ex13)
integralc(3 x+2 y) cdot d x+(2 x-y) cdot d y
Ao longo da curva indicada.
4.3. A curva y=sen(pi x2) de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O exercício pede para calcular a integral
integralc(3x + 2y),dx + (2x - y),dy
ao longo da curva indo do ponto até . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente às integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t . Como queremos ir de y = sin(pi t2) até x(t) = t y(t) = sin(pi t2) , podemos usar como parâmetro. Vamos definir:
onde varia de 0 a 1. Com isso, fica:
Assim, nossa parametrização fica:
para .

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx = dxdt dt = 1,dt e dy = dydt dt = pi2 cos(pi t2) dt em termos de . Derivando e em relação a , temos:
Esses serão usados na nossa integral.

Passo 4

Vamos substituir integral0^1 [ 3t + 2sin(pi t2) ] cdot 1,dt + [ 2t - sin(pi t2) ] cdot pi2 cos(pi t2) dt , integral0^1 (3t + 2sin(pi t2) + (2t - sin(pi t2)) cdot pi2 cos(pi t2) ) dt , e na integral original:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos dividir a integral em partes para facilitar:
integral0^1 3t,dt + integral0^1 2sin(pi t2),dt + integral0^1 (2t - sin(pi t2)) cdot pi2 cos(pi t2) dt
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral0^1 3t,dt = 3 cdot t^22 g|0^1 = 3 cdot 12 = 32

Passo 7

Segunda integral:
integral0^1 2sin(pi t2),dt = 2 cdot ( -2pi cos(pi t2) ) g|0^1 = -4pi ( cos(pi2) - cos(0) ) = -4pi (0 - 1) = 4pi

Passo 8

Terceira integral:
integral0^1 (2t - sin(pi t2)) cdot pi2 cos(pi t2) dt
Vamos distribuir:
pi2 integral0^1 2t cos(pi t2) dt - pi2 integral0^1 sin(pi t2) cos(pi t2) dt
Calculando cada parte:
Para u = 2t Rightarrow du = 2,dt dv = cos(pi t2) dt Rightarrow v = 2pi sin(pi t2) , usamos integração por partes:
integral 2t cos(pi t2) dt = 2t cdot 2pi sin(pi t2) - integral 4pi sin(pi t2) dt = 4tpi sin(pi t2) + 8pi^2 cos(pi t2) + C
Então:
4pi cdot 1 cdot sin(pi2) + 8pi^2 cos(pi2) |0^1 = 4pi cdot 1 + 0 - (0 + 8pi^2 cdot 1) = 4pi - 8pi^2
Avaliando de 0 a 1:
12 integral sin(pi t) dt = -12pi cos(pi t) + C
Para -12pi [cos(pi) - cos(0)] = -12pi [-1 - 1] = 1pi , usamos a identidade pi2 ( 4pi - 8pi^2 ) - pi2 cdot 1pi = 2 - 4pi - 12 :
2 - 12 - 4pi = 32 - 4pi
Avaliando de 0 a 1:
Portanto, a terceira integral fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, somamos todas as partes:
32 + 4pi + ( 32 - 4pi ) = 32 + 4pi + 32 - 4pi = 3

Resposta

A integral ao longo da curva é igual a .

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