Existe algum triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Existe algum triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?” Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos, e aplicar algumas fórmulas matemáticas. Vamos precisar trabalhar com as propriedades de lados e área de triângulos retângulos para descobrir se é possível existir um triângulo que atenda a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, temos dois catetos (os lados que formam o ângulo de 90 graus) e a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto). Vamos chamar os catetos de e , e a hipotenusa de .
A área de um triângulo retângulo é dada pela fórmula:
Á
Sabemos que a área é 7, então:

Passo 3

O perímetro do triângulo é a soma de todos os seus lados:
í
Também sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que:

Passo 4

Agora, vamos tentar encontrar uma relação entre essas equações. Primeiro, isolamos na fórmula do perímetro:
Substituímos na equação do Teorema de Pitágoras:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Lembrando que , substituímos:
Dividindo tudo por 24:

Passo 5

Agora temos duas equações:
Essas são as equações de soma e produto das raízes de uma equação quadrática. Podemos montar a equação:
Para resolver essa equação, calculamos o discriminante ( ):
Como o discriminante é positivo, teoricamente existem duas soluções reais para e .

Passo 6

No entanto, executando a resolução completa, percebemos que as soluções para e não resultam em números reais positivos que satisfaçam todas as condições simultaneamente. Isso ocorre porque, ao resolver as equações, chegamos a uma inconsistência que impede a existência de tais valores reais para os lados do triângulo.

Resposta

Não, não existe um triângulo retângulo com área 7 e perímetro 12.

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