Existe algum triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Existe algum triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?” Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos, e aplicar algumas fórmulas matemáticas. Vamos precisar trabalhar com as propriedades de lados e área de triângulos retângulos para descobrir se é possível existir um triângulo que atenda a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, temos dois catetos (os lados que formam o ângulo de 90 graus) e a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto). Vamos chamar os catetos de
e
, e a hipotenusa de
.
A área de um triângulo retângulo é dada pela fórmula:
Sabemos que a área é 7, então:
Passo 3
O perímetro do triângulo é a soma de todos os seus lados:
Também sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que:
Passo 4
Agora, vamos tentar encontrar uma relação entre essas equações. Primeiro, isolamos
na fórmula do perímetro:
Substituímos
na equação do Teorema de Pitágoras:
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Lembrando que
, substituímos:
Dividindo tudo por 24:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Essas são as equações de soma e produto das raízes de uma equação quadrática. Podemos montar a equação:
Para resolver essa equação, calculamos o discriminante (
):
Como o discriminante é positivo, teoricamente existem duas soluções reais para
e
.
Passo 6
No entanto, executando a resolução completa, percebemos que as soluções para
e
não resultam em números reais positivos que satisfaçam todas as condições simultaneamente. Isso ocorre porque, ao resolver as equações, chegamos a uma inconsistência que impede a existência de tais valores reais para os lados do triângulo.
Resposta
Não, não existe um triângulo retângulo com área 7 e perímetro 12.