Em cada parte, determine se u e v fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais.
d) u=lang<= 4,1,6rang<=, v=lang<=-3,0,2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se os vetores u=lang<= 4,1,6rang<= e v=lang<=-3,0,2rang<= formam um ângulo agudo, obtuso ou se são ortogonais. Para isso, vamos usar o produto escalar, que é uma ferramenta chave na geometria vetorial. O produto escalar nos ajuda a entender a relação angular entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o produto escalar de dois vetores. Se temos dois vetores a=lang<= a1, a2, a3 rang<= e b=lang<= b1, b2, b3 rang<=, o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Esse valor nos diz sobre o ângulo entre os vetores:
  • Se a cdot b > 0, o ângulo é agudo.
  • Se a cdot b < 0, o ângulo é obtuso.
  • Se a cdot b = 0, os vetores são ortogonais (ou seja, perpendiculares).

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u e v:
u cdot v = (4)(-3) + (1)(0) + (6)(2)
Vamos resolver cada parte:
  • 4 times -3 = -12
  • 1 times 0 = 0
  • 6 times 2 = 12
Somando tudo:
-12 + 0 + 12 = 0

Passo 4

O resultado do produto escalar foi 0. Segundo o que vimos, se o produto escalar é igual a zero, significa que os vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

Os vetores u e v são ortogonais.

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