É um teorema da Geometria sólida que o volume de um tetraedro é (área da base) x (altura). Use esse resultado para provar que o volume de um tetraedro cujas arestas são os vetores
e w é
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que o volume de um tetraedro cujas arestas são os vetores
,
e
é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sólida e álgebra vetorial, especialmente relacionados a produtos vetoriais e escalares.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o volume de um tetraedro pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, precisamos identificar qual vetor representa a base e qual representa a altura do tetraedro.
Passo 3
Vamos considerar os vetores
e
como as arestas que formam a base do tetraedro. A Área da base pode ser calculada usando o produto vetorial desses dois vetores:
O produto vetorial
nos dá um vetor perpendicular à base, e o seu módulo representa o dobro da área do paralelogramo formado por
e
. Por isso, dividimos por 2 para obter a área do triângulo (base do tetraedro).
Passo 4
A Altura do tetraedro é a distância do vértice oposto à base até a base mesma. Para encontrar essa altura, usamos o produto escalar do vetor
com o vetor normal à base
:
Aqui,
representa o produto escalar triplo, que calcula o volume do paralelepípedo formado pelos vetores
,
e
. Dividindo pelo módulo do produto vetorial
, obtemos a altura do tetraedro.
Passo 5
Agora, substituímos a área da base e a altura na fórmula do volume do tetraedro:
Simplificando os termos:
Resposta
O volume do tetraedro é
.