É um teorema da Geometria sólida que o volume de um tetraedro é (área da base) x (altura). Use esse resultado para provar que o volume de um tetraedro cujas arestas são os vetores u, v e w é 16|u cdot(v times w)|.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que o volume de um tetraedro cujas arestas são os vetores u, v e w é igual a 16|u cdot (v times w)|. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sólida e álgebra vetorial, especialmente relacionados a produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o volume de um tetraedro pode ser calculado usando a fórmula:
V = Área da base times AÁ
Aqui, precisamos identificar qual vetor representa a base e qual representa a altura do tetraedro.

Passo 3

Vamos considerar os vetores v e w como as arestas que formam a base do tetraedro. A Área da base pode ser calculada usando o produto vetorial desses dois vetores:
Área da base = 12|v times w| Á
O produto vetorial v times w nos dá um vetor perpendicular à base, e o seu módulo representa o dobro da área do paralelogramo formado por v e w. Por isso, dividimos por 2 para obter a área do triângulo (base do tetraedro).

Passo 4

A Altura do tetraedro é a distância do vértice oposto à base até a base mesma. Para encontrar essa altura, usamos o produto escalar do vetor u com o vetor normal à base v times w:
A
Aqui, u cdot (v times w) representa o produto escalar triplo, que calcula o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u, v e w. Dividindo pelo módulo do produto vetorial |v times w|, obtemos a altura do tetraedro.

Passo 5

Agora, substituímos a área da base e a altura na fórmula do volume do tetraedro:
V = (12|v times w|) times (|u cdot (v times w)||v times w|)3
Simplificando os termos:
V = 12 times |u cdot (v times w)|3 = |u cdot (v times w)|6

Resposta

O volume do tetraedro é 16|u cdot (v times w)|.

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