Em cada parte, determine se a multiplicação por é uma transformação linear injetora.
(a)
Passo 1
Então, a gente tem que ver se multiplicar por essa matriz é uma transformação linear injetora. Isso envolve entender um pouco sobre transformação linear e injetividade. Vamos precisar verificar se as colunas de são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Notamos que a segunda coluna parece ser um múltiplo da primeira. Vamos verificar isso.
Passo 3
Vamos multiplicar a primeira coluna por e ver se iguala a segunda coluna:
Comparando com a segunda coluna de :
Vemos que são iguais. Isso significa que a segunda coluna é vezes a primeira coluna.
Passo 4
Como a segunda coluna é um múltiplo da primeira, as colunas de são linearmente dependentes. Em termos de transformação linear, isso quer dizer que a transformação não é injetora, porque há vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em .
Resposta
A multiplicação por não é uma transformação linear injetora.