Nos problemas 49 a 51 , determinar o ponto de interseção da reta 1 com o plano pi nos seguintes casos:
51) r: lx=t y=1-2 t e pi: 2 x+y-z-4=0 z=-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica. A gente precisa encontrar o ponto onde uma reta e um plano se cruzam. Para isso, vamos usar as equações da reta e do plano que foram dadas. A reta está parametrizada por , e o plano tem a equação . Nosso objetivo é descobrir qual valor de faz com que um ponto na reta também esteja no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta. Elas estão assim:
x = t y = 1 - 2t z = -t
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser descrito em termos de . Agora, vamos pegar esses valores de , e e colocar na equação do plano para encontrar o valor de que faz com que o ponto esteja no plano.

Passo 3

Substituindo 2(t) + (1 - 2t) - (-t) - 4 = 0 , e na equação do plano , a gente tem:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Simplificando a equação:
2t + 1 - 2t + t - 4 = 0
Aqui, os t - 3 = 0 e t = 3 se cancelam, sobrando:
Então, resolvendo para :

Passo 5

Agora que sabemos que x = 3 , vamos substituir esse valor nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
y = 1 - 2(3) = 1 - 6 = -5
z = -3

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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