Em cada parte, seja T: R^3 R^3 a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre
T^-1([l x1 x2 x3 ])
(b) A=[rrr1 & 4 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear x1 x2 x3 que é definida pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, vamos encontrar essa inversa aplicada a um vetor qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e verificar se a matriz é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz A = 1 & 4 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. O determinante é um número que nos dá essa informação essencial sobre a matriz. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz dada é:

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou o método da expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Substituindo os valores da matriz det(A) = 1(2 cdot 0 - 1 cdot 1) - 4(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1)(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) :
det(A) = 1(0 - 1) - 4(0 + 1) + (-1)(1 + 2)
det(A) = -1 - 4 - 3 = -8

Passo 4

Como o determinante de é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação tem uma inversa.

Passo 5

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . A inversa de uma matriz 3x3 pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 6

Vamos calcular os cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator C11 = (-1)^1+1 cdot 2 & 1 1 & 0 = 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 é dado por:
C12 = (-1)^1+2 cdot 1 & 1 -1 & 0 = -1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = -1
Onde C13 = (-1)^1+3 cdot 1 & 2 -1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) = 3 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de C21 = (-1)^2+1 cdot 4 & -1 1 & 0 = -1 cdot (4 cdot 0 - (-1) cdot 1) = -1 .
Vamos calcular cada cofator:
C22 = (-1)^2+2 cdot 1 & -1 -1 & 0 = 1 cdot (1 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1
C23 = (-1)^2+3 cdot 1 & 4 -1 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 4 cdot (-1)) = -5
C31 = (-1)^3+1 cdot 4 & -1 2 & 1 = 1 cdot (4 cdot 1 - (-1) cdot 2) = 6
C32 = (-1)^3+2 cdot 1 & -1 1 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) = -2
C33 = (-1)^3+3 cdot 1 & 4 1 & 2 = 1 cdot (1 cdot 2 - 4 cdot 1) = -2

Passo 7

Com os cofatores calculados, temos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -1 & -1 & 3 -1 & -1 & -5 6 & -2 & -2
A matriz adjunta adj(A) = -1 & -1 & 6 -1 & -1 & -2 3 & -5 & -2 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-8 cdot -1 & -1 & 6 -1 & -1 & -2 3 & -5 & -2 = 18 & 18 & -34 18 & 18 & 14 -38 & 58 & 14

Passo 9

Agora que temos x1 x2 x3 , podemos encontrar T^-1( x1 x2 x3 ) = A^-1 x1 x2 x3 = 18x1 + 18x2 - 34x3 18x1 + 18x2 + 14x3 -38x1 + 58x2 + 14x3 aplicada ao vetor simplesmente multiplicando por esse vetor:

Resposta

A transformação T^-1( x1 x2 x3 ) = 18x1 + 18x2 - 34x3 18x1 + 18x2 + 14x3 -38x1 + 58x2 + 14x3 tem inversa, e ela é dada por:

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