Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que é definida pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, vamos encontrar essa inversa aplicada a um vetor qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e verificar se a matriz é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. O determinante é um número que nos dá essa informação essencial sobre a matriz. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz dada é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou o método da expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Substituindo os valores da matriz :
Passo 4
Como o determinante de é diferente de zero (), isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação tem uma inversa.
Passo 5
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . A inversa de uma matriz 3x3 pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Passo 6
Vamos calcular os cofatores de . Cada cofator é dado por:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Vamos calcular cada cofator:
Passo 7
Com os cofatores calculados, temos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula da matriz inversa:
Passo 9
Agora que temos , podemos encontrar aplicada ao vetor simplesmente multiplicando por esse vetor: