Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre
(b) A=[rrr1 & 4 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear x1 x2 x3 que é definida pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, vamos encontrar essa inversa aplicada a um vetor qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e verificar se a matriz é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz A = 1 & 4 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. O determinante é um número que nos dá essa informação essencial sobre a matriz. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz dada é:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou o método da expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Como o determinante de é diferente de zero (), isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação tem uma inversa.
Passo 5
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . A inversa de uma matriz 3x3 pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Passo 6
Vamos calcular os cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator C11 = (-1)^1+1 cdot 2 & 1 1 & 0 = 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1 é dado por:
Onde C13 = (-1)^1+3 cdot 1 & 2 -1 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) = 3 é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de C21 = (-1)^2+1 cdot 4 & -1 1 & 0 = -1 cdot (4 cdot 0 - (-1) cdot 1) = -1 .