Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre

(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que é definida pela multiplicação por uma matriz . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação tem uma inversa. Se tiver, vamos encontrar essa inversa aplicada a um vetor qualquer . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversas e verificar se a matriz é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante é diferente de zero. O determinante é um número que nos dá essa informação essencial sobre a matriz. Então, vamos calcular o determinante de .
A matriz dada é:

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou o método da expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Substituindo os valores da matriz :

Passo 4

Como o determinante de é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação tem uma inversa.

Passo 5

Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a matriz inversa . A inversa de uma matriz 3x3 pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 6

Vamos calcular os cofatores de . Cada cofator é dado por:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna de .
Vamos calcular cada cofator:

Passo 7

Com os cofatores calculados, temos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da matriz inversa:

Passo 9

Agora que temos , podemos encontrar aplicada ao vetor simplesmente multiplicando por esse vetor:

Resposta

A transformação tem inversa, e ela é dada por:

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Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre

(a)
Determine de modo que as matrizes abaixo sejam invertíveis:
Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre

©
Em cada parte, determine se a multiplicação por é uma transformação linear injetora.
(a)