Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação linear , que é a multiplicação por uma matriz , tem uma inversa. Se tiver, a gente também precisa encontrar essa inversa . A matriz que estamos lidando aqui é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
Aplicando os valores de :
Passo 4
Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que é invertível. Então, a transformação também tem uma inversa .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz inversa . A fórmula geral para a inversa de uma matriz envolve a matriz dos cofatores, a matriz adjunta e a divisão pelo determinante. Vamos calcular a inversa passo a passo.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de .
Passo 6
Calculando os cofatores para cada posição:
Passo 7
Agora, vamos montar a matriz dos cofatores:
Em seguida, a adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores:
Passo 8
Finalmente, a matriz inversa é dada por:
Resposta
A transformação tem uma inversa, e a matriz inversa é: