Em cada parte, seja T: R^3 R^3 a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa; se tiver, encontre
T^-1([l x1 x2 x3 ])
© A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação linear A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 , que é a multiplicação por uma matriz , tem uma inversa. Se tiver, a gente também precisa encontrar essa inversa . A matriz que estamos lidando aqui é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

O determinante de uma matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
det(A) = 1(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0(0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1)
Aplicando os valores de det(A) = 1(0 - 1) - 0(0 - 1) + 1(0 - 1) :
det(A) = -1 - 0 - 1 = -2

Passo 4

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que é invertível. Então, a transformação também tem uma inversa .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa . A fórmula geral para a inversa de uma matriz envolve a matriz dos cofatores, a matriz adjunta e a divisão pelo determinante. Vamos calcular a inversa passo a passo.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de .

Passo 6

Calculando os cofatores para cada posição:
Cofator11 = 1 & 1 1 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1
Cofator12 = - 0 & 1 1 & 0 = -((0 cdot 0) - (1 cdot 1)) = -(-1) = 1
Cofator13 = 0 & 1 1 & 1 = (0 cdot 1) - (1 cdot 1) = -1
Cofator21 = - 0 & 1 1 & 0 = -((0 cdot 0) - (1 cdot 1)) = -(-1) = 1
Cofator22 = 1 & 1 1 & 0 = (1 cdot 0) - (1 cdot 1) = -1
Cofator23 = - 1 & 0 1 & 1 = -((1 cdot 1) - (0 cdot 1)) = -(1) = -1
Cofator31 = 0 & 1 1 & 1 = (0 cdot 1) - (1 cdot 1) = -1
Cofator32 = - 1 & 1 0 & 1 = -((1 cdot 1) - (1 cdot 0)) = -(1) = -1
Cofator33 = 1 & 0 0 & 1 = (1 cdot 1) - (0 cdot 0) = 1

Passo 7

Agora, vamos montar a matriz dos cofatores:
Cof(A) = -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1
Em seguida, a adjunta de Adj(A) = -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 ^T = -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Finalmente, a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-2 cdot -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 = 12 & -12 & 12 -12 & 12 & 12 12 & 12 & -12 é dada por:

Resposta

A transformação T^-1( x1 x2 x3 ) = A^-1 x1 x2 x3 = 12 & -12 & 12 -12 & 12 & 12 12 & 12 & -12 x1 x2 x3 tem uma inversa, e a matriz inversa é:

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