Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre

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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a transformação linear , que é a multiplicação por uma matriz , tem uma inversa. Se tiver, a gente também precisa encontrar essa inversa . A matriz que estamos lidando aqui é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
Aplicando os valores de :

Passo 4

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que é invertível. Então, a transformação também tem uma inversa .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa . A fórmula geral para a inversa de uma matriz envolve a matriz dos cofatores, a matriz adjunta e a divisão pelo determinante. Vamos calcular a inversa passo a passo.
Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de .

Passo 6

Calculando os cofatores para cada posição:

Passo 7

Agora, vamos montar a matriz dos cofatores:
Em seguida, a adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Finalmente, a matriz inversa é dada por:

Resposta

A transformação tem uma inversa, e a matriz inversa é:

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(b)
Em cada parte, seja a multiplicação por . Determine se tem uma inversa; se tiver, encontre

(a)
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(a)
Nos problemas 49 a 51 , determinar o ponto de interseção da reta 1 com o plano nos seguintes casos:
51) r: