Calcule uma base ortogonal para o que contenha o vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço que contenha o vetor . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortogonais. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores diferentes é ortogonal, ou seja, tem produto interno igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e encontrar um vetor que seja ortogonal ao .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, queremos encontrar um vetor tal que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar uma relação entre e . Podemos expressar em função de :
Isso significa que qualquer vetor da forma será ortogonal a . Para facilitar, vamos escolher um valor específico para . Por exemplo, se , então .
Passo 4
Então, temos dois vetores:
Esses dois vetores são ortogonais, pois o produto escalar deles é zero:
Resposta
Uma base ortogonal para que contém o vetor é formada pelos vetores e .