Calcule uma base ortogonal para o R^2 que contenha o vetor (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço R^2 que contenha o vetor (2,1). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortogonais. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores diferentes é ortogonal, ou seja, tem produto interno igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e encontrar um vetor que seja ortogonal ao (2,1).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores (a,b) e (c,d) é dado por:
(a, b) cdot (c, d) = ac + bd
Então, queremos encontrar um vetor (x, y) tal que:
(2, 1) cdot (x, y) = 2x + y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação 2x + y = 0 para encontrar uma relação entre x e y. Podemos expressar y em função de x:
y = -2x
Isso significa que qualquer vetor da forma (x, -2x) será ortogonal a (2,1). Para facilitar, vamos escolher um valor específico para x. Por exemplo, se x = 1, então y = -2.

Passo 4

Então, temos dois vetores:
  1. (2, 1)
  2. (1, -2)
Esses dois vetores são ortogonais, pois o produto escalar deles é zero:
(2, 1) cdot (1, -2) = 2(1) + 1(-2) = 2 - 2 = 0

Resposta

Uma base ortogonal para R^2 que contém o vetor (2,1) é formada pelos vetores (2,1) e (1,-2).

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