Calcule uma base ortogonal para o
que contenha o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço
que contenha o vetor
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortogonais. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores diferentes é ortogonal, ou seja, tem produto interno igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e encontrar um vetor que seja ortogonal ao
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Então, queremos encontrar um vetor
tal que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar uma relação entre
e
. Podemos expressar
em função de
:
Isso significa que qualquer vetor da forma
será ortogonal a
. Para facilitar, vamos escolher um valor específico para
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 4
Então, temos dois vetores:
Esses dois vetores são ortogonais, pois o produto escalar deles é zero:
Resposta
Uma base ortogonal para
que contém o vetor
é formada pelos vetores
e
.