Calcule uma base ortogonal para o que contenha o vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço que contenha o vetor . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases ortogonais. Uma base ortogonal é um conjunto de vetores onde cada par de vetores diferentes é ortogonal, ou seja, tem produto interno igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e encontrar um vetor que seja ortogonal ao .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, queremos encontrar um vetor tal que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar uma relação entre e . Podemos expressar em função de :
Isso significa que qualquer vetor da forma será ortogonal a . Para facilitar, vamos escolher um valor específico para . Por exemplo, se , então .

Passo 4

Então, temos dois vetores:
Esses dois vetores são ortogonais, pois o produto escalar deles é zero:

Resposta

Uma base ortogonal para que contém o vetor é formada pelos vetores e .

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Nos problemas 49 a 51 , determinar o ponto de interseção da reta 1 com o plano nos seguintes casos:
51) r:
Em cada parte, determine se a multiplicação por é uma transformação linear injetora.
(a)
Dados os subespaços de


Calcule:
[Dica:
Calcular a diståncia entre as retas r e s nos seguintes casos: