Em cada parte, determine se
é uma transformação matricial.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação
é uma transformação matricial. Aqui, estamos falando de álgebra linear, que envolve transformar vetores usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
é uma transformação linear, ou seja, se ela satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Passo 3
Agora, vamos analisar a transformação dada:
. Vamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades da transformação linear.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Suponha que temos dois vetores
e
. Então:
Agora, calculando
:
Vemos que
a menos que
ou
seja zero, o que não é sempre o caso. Portanto, a aditividade não é satisfeita.
Passo 5
Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que
não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, porque ambas as propriedades precisam ser verdadeiras para que
seja linear.
Resposta
A transformação
não é uma transformação matricial.