Em cada parte, determine se T é uma transformação matricial.
(d) T(x, y, z)=(y^2, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação é uma transformação matricial. Aqui, estamos falando de álgebra linear, que envolve transformar vetores usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar verificar se é uma transformação linear, ou seja, se ela satisfaz duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (Aditividade)
  2. (Homogeneidade)

Passo 3

Agora, vamos analisar a transformação dada: . Vamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades da transformação linear.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Suponha que temos dois vetores T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((y1 + y2)^2, z1 + z2) e T(u) + T(v) = (y1^2, z1) + (y2^2, z2) = (y1^2 + y2^2, z1 + z2) . Então:
Agora, calculando :
Vemos que a menos que ou seja zero, o que não é sempre o caso. Portanto, a aditividade não é satisfeita.

Passo 5

Como a transformação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que não é uma transformação linear. Não precisamos verificar a homogeneidade, porque ambas as propriedades precisam ser verdadeiras para que seja linear.

Resposta

A transformação não é uma transformação matricial.

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