Os triângulos
e
são equiláteros e estão situados em planos perpendiculares. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois triângulos equiláteros, o
e o
, que estão em planos perpendiculares. A missão aqui é descobrir o valor do cosseno do ângulo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e álgebra vetorial, como vetores, produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um sistema de coordenadas para facilitar nossa vida. Vamos colocar o triângulo
no plano
e o triângulo
no plano
. Assim, os dois planos ficam perpendiculares entre si, como o exercício pede.
Passo 3
Agora, vamos definir as coordenadas dos pontos:
- Ponto
: — a origem. - Ponto
: — ao longo do eixo . - Ponto
: — formando o triângulo equilátero no plano .
Passo 4
Para o triângulo
no plano
:
- Ponto
: — garantindo que também seja equilátero.
Passo 5
Vamos encontrar os vetores
e
a partir do ponto
:
- Vetor
- Vetor
Passo 6
Para achar o cosseno do ângulo
, usamos a fórmula do produto escalar:
Isso quer dizer que precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as normas (comprimentos) deles.
Passo 7
Calculando o produto escalar
:
Passo 8
Agora, vamos calcular as normas dos vetores
e
:
Passo 9
Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno: