Os triângulos A B C e A B D são equiláteros e estão situados em planos perpendiculares. Determine cos C A ̂ D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois triângulos equiláteros, o e o , que estão em planos perpendiculares. A missão aqui é descobrir o valor do cosseno do ângulo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e álgebra vetorial, como vetores, produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um sistema de coordenadas para facilitar nossa vida. Vamos colocar o triângulo no plano e o triângulo no plano . Assim, os dois planos ficam perpendiculares entre si, como o exercício pede.

Passo 3

Agora, vamos definir as coordenadas dos pontos:
  • Ponto : — a origem.
  • Ponto : — ao longo do eixo .
  • Ponto : — formando o triângulo equilátero no plano .

Passo 4

Para o triângulo no plano :
  • Ponto : — garantindo que também seja equilátero.

Passo 5

Vamos encontrar os vetores e a partir do ponto :
  • Vetor
  • Vetor

Passo 6

Para achar o cosseno do ângulo cos(theta) = CA cdot DA ||CA|| cdot ||DA|| , usamos a fórmula do produto escalar:
Isso quer dizer que precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as normas (comprimentos) deles.

Passo 7

Calculando o produto escalar CA cdot DA = (12) cdot (12) + (raiz32) cdot 0 + 0 cdot (raiz32) = 14 :

Passo 8

Agora, vamos calcular as normas dos vetores ||CA|| = ||DA|| = raiz (12)^2 + (raiz32)^2 + 0^2 = raiz 14 + 34 = raiz1 = 1 e :

Passo 9

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 14 1 cdot 1 = 14

Resposta

cos ang<= CAD = 14

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