Prove (vetorialmente) o Teorema dos Senos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar o Teorema dos Senos usando vetores. Esse teorema faz parte da trigonometria e relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, ângulos e um pouco de trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um triângulo qualquer, que a gente chama de triângulo ABC, onde os lados opostos aos ângulos A, B e C são chamados de a, b e c, respectivamente. A ideia é expressar os lados do triângulo como vetores.
Passo 3
Vamos fixar o ponto A na origem do sistema de coordenadas. Assim, os vetores que representam os lados do triângulo serão:
Passo 4
Sabemos que o vetor
pode ser representado como a diferença entre os vetores
e
:
O comprimento desse vetor é o lado a do triângulo.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de
e
é dado por:
Aqui,
e
são os comprimentos dos lados b e c, e
é o cosseno do ângulo A.
Passo 6
Também podemos expandir o produto escalar de
com ele mesmo:
Expandindo, temos:
Passo 7
Substituindo o produto escalar que calculamos no Passo 5:
Rearranjando os termos:
Essa é a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos.
Passo 8
Para chegar ao Teorema dos Senos, vamos dividir ambos os lados da equação pelo produto
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:
Isso é exatamente o Teorema dos Senos!
Resposta
Provarmos vetorialmente que
, confirmando assim o Teorema dos Senos.