Prove (vetorialmente) o Teorema dos Senos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar o Teorema dos Senos usando vetores. Esse teorema faz parte da trigonometria e relaciona os lados de um triângulo com os senos de seus ângulos. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, ângulos e um pouco de trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um triângulo qualquer, que a gente chama de triângulo ABC, onde os lados opostos aos ângulos A, B e C são chamados de a, b e c, respectivamente. A ideia é expressar os lados do triângulo como vetores.

Passo 3

Vamos fixar o ponto A na origem do sistema de coordenadas. Assim, os vetores que representam os lados do triângulo serão:

Passo 4

Sabemos que o vetor BC = AC - AB = c - b pode ser representado como a diferença entre os vetores e :
O comprimento desse vetor é o lado a do triângulo.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de b cdot c = |b| cdot |c| cdot cos A e é dado por:
Aqui, e são os comprimentos dos lados b e c, e é o cosseno do ângulo A.

Passo 6

Também podemos expandir o produto escalar de (c - b) cdot (c - b) = a cdot a = a^2 com ele mesmo:
c cdot c - 2 b cdot c + b cdot b = a^2
Expandindo, temos:

Passo 7

Substituindo o produto escalar que calculamos no Passo 5:
|c|^2 - 2 |b| |c| cos A + |b|^2 = a^2
Rearranjando os termos:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A
Essa é a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos.

Passo 8

Para chegar ao Teorema dos Senos, vamos dividir ambos os lados da equação pelo produto a^22bc sin A = b^2 + c^2 - 2bc cos A2bc sin A :
a2 sin A = b2 sin B = c2 sin C
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, multiplicando ambos os lados por 2, obtemos:
asin A = bsin B = csin C
Isso é exatamente o Teorema dos Senos!

Resposta

Provarmos vetorialmente que , confirmando assim o Teorema dos Senos.

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