Sendo
e
dois vetores quaisquer não paralelos, tal que,
, mostre que:
I.
II.
III.
IV.
I.
II.
III.
IV.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores quaisquer,
e
, que não são paralelos. A partir desses vetores, a gente define um terceiro vetor,
, que é o produto vetorial de
e
, ou seja,
. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações como produto escalar e produto vetorial. Para resolver os quatro itens apresentados, vamos precisar entender propriedades dessas operações, como ortogonalidade, anti-comutatividade e distributividade.
Passo 2
I.
Vamos mostrar que o produto escalar de
com
e com
é zero.
Sabemos que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Isso é uma propriedade fundamental do produto vetorial.
O produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares. Portanto:
Passo 3
II.
Aqui, queremos mostrar que o produto vetorial é anti-comutativo.
A definição do produto vetorial entre dois vetores
e
é tal que trocar a ordem dos vetores muda o sinal do resultado. Ou seja:
Isso acontece porque a direção do vetor resultante depende da regra da mão direita, que inverte quando invertemos a ordem dos vetores.
Passo 4
III.
Vamos provar essa identidade ciclicamente.
Primeiro, lembramos que
. Agora, substituindo
nas expressões:
Usando a propriedade do produto vetorial que diz que
para qualquer vetor
e
, cada termo se anula:
Passo 5
IV.
Vamos mostrar essa relação usando propriedades do produto misto.
Sabemos que o produto misto
é igual ao determinante formado pelos vetores
,
e
. Além disso, trocar a ordem dos vetores no produto vetorial inverte o sinal:
Portanto:
Resposta
Demonstramos as quatro propriedades solicitadas utilizando as regras básicas de produto vetorial e escalar. Assim, todas as identidades propostas são válidas.