Sendo A e B dois vetores quaisquer não paralelos, tal que, C=A times B, mostre que:
I. C cdot A=C cdot B=0
II. A times B=-B times A
III. A times B times C+B times C times A+C times A times B=0
IV. A cdot(B times C)=-B cdot(A times C)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores quaisquer, A e B, que não são paralelos. A partir desses vetores, a gente define um terceiro vetor, C, que é o produto vetorial de A e B, ou seja, C = A times B. A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Vetorial, especificamente operações como produto escalar e produto vetorial. Para resolver os quatro itens apresentados, vamos precisar entender propriedades dessas operações, como ortogonalidade, anti-comutatividade e distributividade.

Passo 2

I. C cdot A = C cdot B = 0
Vamos mostrar que o produto escalar de C com A e com B é zero.
Sabemos que o produto vetorial C = A times B resulta em um vetor que é perpendicular tanto a A quanto a B. Isso é uma propriedade fundamental do produto vetorial.
O produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares. Portanto:
C cdot A = (A times B) cdot A = 0
C cdot B = (A times B) cdot B = 0

Passo 3

II. A times B = -B times A
Aqui, queremos mostrar que o produto vetorial é anti-comutativo.
A definição do produto vetorial entre dois vetores A e B é tal que trocar a ordem dos vetores muda o sinal do resultado. Ou seja:
A times B = - (B times A)
Isso acontece porque a direção do vetor resultante depende da regra da mão direita, que inverte quando invertemos a ordem dos vetores.

Passo 4

III. A times B times C + B times C times A + C times A times B = 0
Vamos provar essa identidade ciclicamente.
Primeiro, lembramos que C = A times B. Agora, substituindo C nas expressões:
A times (A times B) + B times (B times A) + (A times B) times A = 0
Usando a propriedade do produto vetorial que diz que X times (X times Y) = 0 para qualquer vetor X e Y, cada termo se anula:
A times (C) + B times (-C) + C times A = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 5

IV. A cdot (B times C) = -B cdot (A times C)
Vamos mostrar essa relação usando propriedades do produto misto.
Sabemos que o produto misto A cdot (B times C) é igual ao determinante formado pelos vetores A, B e C. Além disso, trocar a ordem dos vetores no produto vetorial inverte o sinal:
A cdot (B times C) = -A cdot (C times B) = -B cdot (A times C)
Portanto:
A cdot (B times C) = -B cdot (A times C)

Resposta

Demonstramos as quatro propriedades solicitadas utilizando as regras básicas de produto vetorial e escalar. Assim, todas as identidades propostas são válidas.

Exercícios relacionados