Em cada parte, determine se u e v fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais.
a) u=7 i+3 j+5 k, v=-8 i+4 j+2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o ângulo entre os vetores u e v é agudo, obtuso ou se eles são ortogonais (ou seja, formam um ângulo de 90 graus). Para isso, vamos usar o produto escalar dos dois vetores. O produto escalar nos ajuda a entender a relação entre os vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar de u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Substituindo pelos valores dos vetores:
u cdot v = (7)(-8) + (3)(4) + (5)(2)
Vamos fazer as contas:
u cdot v = -56 + 12 + 10 = -34

Passo 3

Agora que temos o produto escalar, vamos interpretar o resultado. A regra é:
  • Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo.
  • Se for negativo, o ângulo é obtuso.
  • Se for zero, os vetores são ortogonais (ângulo de 90 graus).
No nosso caso, , que é negativo.

Resposta

O ângulo entre u e v é obtuso.

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