O que se pode afirmar sobre o ângulo entre os vetores u e v quando:
a) u cdot v>0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver uma questão sobre vetores e o ângulo entre eles. O enunciado pede para descobrirmos o que podemos afirmar sobre o ângulo entre dois vetores u e v quando o produto interno u cdot v é maior que zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto interno e como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno de dois vetores. O produto interno, também conhecido como produto escalar, entre dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
Aqui, |u| e |v| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

O enunciado nos diz que u cdot v > 0. Vamos substituir isso na fórmula:
|u| |v| cos(theta) > 0
Sabemos que as magnitudes dos vetores são sempre positivas, então podemos dividir ambos os lados por |u| |v| sem mudar a desigualdade:
cos(theta) > 0

Passo 4

Agora, precisamos entender para quais valores de theta o cosseno é positivo. O cosseno de um ângulo é positivo quando o ângulo está no primeiro ou quarto quadrante, ou seja, quando:
0^circ < theta < 90^circ ou 270^circ < theta < 360^circ
No contexto de ângulos entre vetores, geralmente consideramos apenas ângulos entre 0^circ e 180^circ. Assim, a condição relevante é:
0^circ < theta < 90^circ

Passo 5

Portanto, se o produto interno u cdot v é maior que zero, isso significa que o ângulo theta entre os vetores u e v está entre 0^circ e 90^circ. Em outras palavras, os vetores formam um ângulo agudo.

Resposta

Quando u cdot v > 0, o ângulo entre os vetores u e v é agudo, ou seja, está entre 0^circ e 90^circ.

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