Em cada parte, determine se os vetores dados geram o ℝ!
a) # = (2, 2, 2), " = (0, 0, 3), ! = (0, 1, 1)
b) # = (2, −1, 3), " = (4, 1, 2), ! = (8, −1, 8)
a) # = (2, 2, 2), " = (0, 0, 3), ! = (0, 1, 1)
b) # = (2, −1, 3), " = (4, 1, 2), ! = (8, −1, 8)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se certos vetores geram o ℝ³. Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores, conseguimos chegar a qualquer ponto no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre a independência linear e determinantes de matrizes. Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Os vetores fornecidos são:
- v₁ = (2, 2, 2)
- v₂ = (0, 0, 3)
- v₃ = (0, 1, 1)
Para saber se esses vetores geram o ℝ³, podemos montar uma matriz usando esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, consequentemente, geram o ℝ³.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores v₁, v₂ e v₃:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Para a nossa matriz:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
O determinante da matriz A é -6, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente independentes e, portanto, geram o ℝ³.
Passo 6
Agora vamos para a parte b). Os vetores fornecidos são:
- v₁ = (2, -1, 3)
- v₂ = (4, 1, 2)
- v₃ = (8, -1, 8)
Vamos seguir o mesmo processo: montar a matriz com esses vetores e calcular o determinante.
Passo 7
Montando a matriz com os vetores v₁, v₂ e v₃:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 8
Aplicando a fórmula do determinante para a matriz B:
Substituindo na fórmula:
Passo 9
O determinante da matriz B é 0, o que indica que os vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente dependentes. Isso significa que eles não geram o ℝ³.
Resposta
a) Sim, os vetores geram o ℝ³.
b) Não, os vetores não geram o ℝ³.
b) Não, os vetores não geram o ℝ³.