Em cada parte, determine se os vetores dados geram o ℝ!
a) # = (2, 2, 2), " = (0, 0, 3), ! = (0, 1, 1)
b) # = (2, −1, 3), " = (4, 1, 2), ! = (8, −1, 8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se certos vetores geram o ℝ³. Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores, conseguimos chegar a qualquer ponto no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre a independência linear e determinantes de matrizes. Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Os vetores fornecidos são:
  • v₁ = (2, 2, 2)
  • v₂ = (0, 0, 3)
  • v₃ = (0, 1, 1)
Para saber se esses vetores geram o ℝ³, podemos montar uma matriz usando esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, consequentemente, geram o ℝ³.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores v₁, v₂ e v₃:
A = 2 & 0 & 0 2 & 0 & 1 2 & 3 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz:
a = 2, b = 0, c = 0 d = 2, e = 0, f = 1 g = 2, h = 3, i = 1
Substituindo na fórmula:
det(A) = 2(0 times 1 - 1 times 3) - 0(2 times 1 - 1 times 2) + 0(2 times 3 - 0 times 2)
det(A) = 2(0 - 3) - 0(2 - 2) + 0(6 - 0)
det(A) = 2(-3) - 0(0) + 0(6) = -6

Passo 5

O determinante da matriz A é -6, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente independentes e, portanto, geram o ℝ³.

Passo 6

Agora vamos para a parte b). Os vetores fornecidos são:
  • v₁ = (2, -1, 3)
  • v₂ = (4, 1, 2)
  • v₃ = (8, -1, 8)
Vamos seguir o mesmo processo: montar a matriz com esses vetores e calcular o determinante.

Passo 7

Montando a matriz com os vetores v₁, v₂ e v₃:
B = 2 & 4 & 8 -1 & 1 & -1 3 & 2 & 8
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 8

Aplicando a fórmula do determinante para a matriz B:
a = 2, b = 4, c = 8 d = -1, e = 1, f = -1 g = 3, h = 2, i = 8
Substituindo na fórmula:
det(B) = 2(1 times 8 - (-1) times 2) - 4((-1) times 8 - (-1) times 3) + 8((-1) times 2 - 1 times 3)
det(B) = 2(8 + 2) - 4(-8 + 3) + 8(-2 - 3)
det(B) = 2(10) - 4(-5) + 8(-5)
det(B) = 20 + 20 - 40 = 0

Passo 9

O determinante da matriz B é 0, o que indica que os vetores v₁, v₂ e v₃ são linearmente dependentes. Isso significa que eles não geram o ℝ³.

Resposta

a) Sim, os vetores geram o ℝ³.
b) Não, os vetores não geram o ℝ³.

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