A distância entre o centro da circunferência de equação (x-2)² + (y+5)²= 9 e a reta de equação 2y + 5x = 0 é ?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos uma circunferência com equação (x-2)^2 + (y+5)^2 = 9 e uma reta com equação 2y + 5x = 0. O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a distância entre um ponto e uma reta. Para resolver, vamos precisar identificar o centro da circunferência e aplicar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da circunferência. A equação geral da circunferência é (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h,k) é o centro e r é o raio. Comparando com a equação dada (x-2)^2 + (y+5)^2 = 9, vemos que o centro é o ponto (2, -5).

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação da reta: 2y + 5x = 0. Podemos reescrever essa equação na forma padrão Ax + By + C = 0, que fica 5x + 2y + 0 = 0, onde A = 5, B = 2 e C = 0.

Passo 4

A fórmula para calcular a distância entre um ponto (x0, y0) e uma reta Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
A = 5, B = 2, C = 0; e o ponto é (2, -5). Então:
d = |5 cdot 2 + 2 cdot (-5) + 0|raiz5^2 + 2^2 = |10 - 10|raiz25 + 4 = 0raiz29 = 0

Resposta

A distância entre o centro da circunferência e a reta é 0. Isso significa que o centro está sobre a reta.

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