Seja uma circunferência de centro C, cujo diâmetro é o segmento de extremidades A (−1,10) e B (−7,2). Considere que M e N são os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo das ordenadas. Determine a área do triângulo cujos vértices são os pontos MNC, em unidade de área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma circunferência com centro em $ C $ e diâmetro definido pelos pontos $ A(-1, 10) $ e $ B(-7, 2) $. Precisamos achar a área do triângulo formado pelos pontos $ M $, $ N $ (os pontos onde a circunferência cruza o eixo das ordenadas) e $ C $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios, distância entre pontos e equação da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do centro $ C $ da circunferência. Como $ C $ é o ponto médio do diâmetro $ AB $, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o raio $ r $ da circunferência. O raio é a metade do comprimento do diâmetro $ AB $. Primeiro, encontramos a distância entre $ A $ e $ B $ usando a fórmula da distância:
Então, o raio é:
Passo 4
Com o centro $ C(-4, 6) $ e o raio $ r = 5 $, podemos escrever a equação da circunferência:
Substituindo $ h = -4 $, $ k = 6 $ e $ r = 5 $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os pontos $ M $ e $ N $ onde a circunferência cruza o eixo das ordenadas (o eixo $ y $). No eixo das ordenadas, $ x = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na equação da circunferência e resolver para $ y $:
Então, os pontos são:
Passo 6
Agora que temos as coordenadas dos três pontos $ M(0, 9) $, $ N(0, 3) $ e $ C(-4, 6) $, vamos calcular a área do triângulo $ MNC $. Para isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo com vértices $ (x_1, y_1) $, $ (x_2, y_2) $ e $ (x_3, y_3) $:
Substituindo os valores:
Resposta
A área do triângulo $ MNC $ é $ 12 $ unidades de área.