Um matemático está estudando o movimento das bolas de basquete em partidas esportivas e percebe que, quando a bola é batida para baixo em direção ao chão, ela quica com uma altura cada vez menor até ficar muito próxima do solo. Em um teste, ele percebeu que a altura atingida pela bola ao subir novamente enquanto quicava era sempre 1/3 da altura atingida na subida anterior. Em sua prancheta, ele registrou que a altura, em centímetros, atingida pela bola na primeira subida desse teste foi de 180. Como pode ser representada a altura atingida pela bola na terceira subida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento das bolas de basquete que, quando quicam, atingem alturas cada vez menores. O conteúdo principal aqui é progressão geométrica, onde cada termo é uma fração do termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona uma progressão geométrica e aplicar isso para encontrar a altura na terceira subida da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da progressão geométrica. Na progressão geométrica, temos:
  • Primeiro termo ( a1): é a altura que a bola atinge na primeira subida. No caso, a1 = 180 cm.
  • Razão ( r): é o fator pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Aqui, a cada subida a altura é $ \frac{1}{3} $ da anterior, então $ r = \frac{1}{3} $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a altura na terceira subida. Em uma progressão geométrica, o enésimo termo ( an) é dado pela fórmula:
an = a1 times r^n-1
Onde:
  • an é o termo que queremos encontrar,
  • a1 é o primeiro termo,
  • r é a razão,
  • n é a posição do termo na sequência.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula para encontrar o terceiro termo ( a3):
a3 = 180 times (13)^3-1 = 180 times (13)^2

Passo 5

Calculando a potência:
(13)^2 = 19
Então,
a3 = 180 times 19 = 20 cm

Resposta

A altura atingida pela bola na terceira subida é de 20 cm.

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