Em cada parte, determine se os vetores dados geram R^3.

Passo 1

Beleza! O enunciado da questão nos pede para determinar se certos vetores dados geram R^3. Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de forma linear, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que vetores geram R^3. Geração de R^3 ocorre quando qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores fornecidos. Isso requer que:
  1. Quantia de vetores: Precisamos de pelo menos três vetores.
  2. Independência linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.

Passo 3

Para verificar se os vetores dados geram R^3, vamos seguir estes passos:
  1. Organizar os vetores em uma matriz: Colocamos os vetores como colunas de uma matriz.
  2. Calcular o determinante da matriz: Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
  3. Concluir: Se os vetores são independentes, eles geram R^3; caso contrário, não geram.

Passo 4

Vamos supor que os vetores dados sejam:
v1 = a b c , v2 = d e f , v3 = g h i
Organizamos esses vetores em uma matriz A:
A = a & d & g b & e & h c & f & i

Passo 5

Calculamos o determinante de A:
det(A) = a(ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ce)
Se det(A) neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram R^3. Se det(A) = 0, os vetores são linearmente dependentes e não geram R^3.

Resposta

Portanto, para os vetores dados, se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero, eles geram R^3. Caso contrário, não geram R^3.

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