Em cada parte, determine se os vetores dados geram .
Passo 1
Beleza! O enunciado da questão nos pede para determinar se certos vetores dados geram . Isso significa que queremos saber se, combinando esses vetores de forma linear, conseguimos alcançar qualquer ponto no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender independência linear e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que vetores geram . Geração de ocorre quando qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores fornecidos. Isso requer que:
Quantia de vetores: Precisamos de pelo menos três vetores.
Independência linear: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Passo 3
Para verificar se os vetores dados geram , vamos seguir estes passos:
Organizar os vetores em uma matriz: Colocamos os vetores como colunas de uma matriz.
Calcular o determinante da matriz: Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Concluir: Se os vetores são independentes, eles geram ; caso contrário, não geram.
Passo 4
Vamos supor que os vetores dados sejam:
Organizamos esses vetores em uma matriz A:
A = a & d & g b & e & h c & f & i
Passo 5
Calculamos o determinante de A:
det(A) = a(ei - fh) - d(bi - ch) + g(bf - ce)
Se det(A) neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram R^3. Se det(A) = 0, os vetores são linearmente dependentes e não geram R^3.
Resposta
Portanto, para os vetores dados, se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero, eles geram R^3. Caso contrário, não geram R^3.