Dados os vetores u=(3,-1,1), v=(1,2,2) e w=(2,0,-3), calcular:

1a
Dados os vetores u=(3,-1,1), v=(1,2,2) e w=(2,0,-3), calcular: (u, v, w)

1b
Dados os vetores u=(3,-1,1), v=(1,2,2) e w=(2,0,-3), calcular: (w, u, v)

2
Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular:

2a
Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular: (w, v, u)

2b
Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular: (v, u, w)

2c
Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular: (w, u, v)

2d
Sabendo que (u, v, w)=-5, calcular: lang<=v,(w times u)rang<=.

3
Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular:

3a
Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular: lang<=u,(w times v)rang<=

3b
Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular: lang<=v,(w times u)rang<=

3c
Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular: lang<=u,(2 w times v)rang<=

3d
Sabendo que lang<=u,(v times w)rang<==2, calcular: lang<=(u times v),(3 v)rang<=

4
Verificar se os vetores são coplanares:

4a
Verificar se os vetores são coplanares: (1,-1,2),(2,2,1),(-2,0,4)

4b
Verificar se os vetores são coplanares: (2,-1,3),(3,1,-2),(7,-1,4)

5
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k ?

6
Sendo |u|=3,|v|=4 e 120 o ângulo entre os vetores u e v, calcular

6a
Sendo |u|=3,|v|=4 e 120 o ângulo entre os vetores u e v, calcular |u+v|

6b
Sendo |u|=3,|v|=4 e 120 o ângulo entre os vetores u e v, calcular |u times(v-u)|

6c
Sendo |u|=3,|v|=4 e 120 o ângulo entre os vetores u e v, calcular O volume do paralelepípedo determinado por u times v, u e v.

7
Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u=(3,-1,4), v=(2,0,1) e w= (-2,1,5). Calcule seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u e v.

8
Determine m e n para que se tenha

8a
Determine m e n para que se tenha (m, n, 2) cdot(4,-1,3)=-2

8b
Determine m e n para que se tenha (m, n, 2) times(4,-1,3)=(8,-1,-11)

8c
Determine m e n para que se tenha (m, n, 2) cdot((3,1,2) times(0,1,-1))=9

9
Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,-3,4) e B(1,-1,2) e verificar se os pontos C(52,-4,5) e D(-1,3,4) pertencem a r.

10
Dada a reta r:(x, y, z)=(-1,2,3)+t(2,-3,0), escrever equações paramétricas de r.

11
Escrever equações paramétricas da reta que passa por A(1,2,3) e é paralela à reta r : (x, y, z)=(1,4,3)+t(0,0,1).

12
Dada a reta abaixo, determine o ponto de r tal que.

12a
Dada a reta abaixo, determine o ponto de r tal que. A ordenada seja 6 ;

12b
Dada a reta abaixo, determine o ponto de r tal que. A abscissa seja igual a ordenada;

13
A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta

13a
A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta s:lx=1+3 t y=2-4 t z=3-t se P(m, n,-5) in r, determine m e n.

14
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:

14a
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,-1,2), B(2,1,0)

14b
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(3,1,4), B(3,-2,2)

14c
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,2,3), B(1,3,2).

15
O ponto P(m, 1, n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Determine P.

16
Seja o triângulo de vértices A(-1,4,2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado A B e pelo vértice oposto a C.

17
verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta.

17a
verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta. r: x-3-1=y+12=z-2-2

18
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui:

18a
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui: Abscissa 5;

18b
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui: Ordenada 2 ;

19
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta

19a
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Que passa por A(4,0,-3) e tem direção de v=(2,4,5);

19b
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1)

19c
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Pelos pontos (-1,2,3) e B(2,-1,3)

19d
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Dada por r : lx=2-t y=3 t z=4 t-5

20
Determinar equações paramétricas das retas que passam por:

20a
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(3,-2,4) e é paralela ao eixo dos x;

20b
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(2,2,4) e é perpendicular ao plano x O z;

20c
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(-2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;

21
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:

21a
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:lx=-2-t y=t z=3-2 t e r2: x2=y+61=z-11

21b
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:ly=-2 x+3 z=x-2 e r2: y=z+1-1 ; x=4

22
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção.

22a
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. r1:ly=2 x+3 z=-x+5 e r2:ly=-3 x+7 z=x+1

22b
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. r1: x-32=y+1-3=z-24 e r1:lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t

23
Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas.

23a
Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas. r1: x-24=y5=z3 e r2:ly=n x+5 z=2 x-2

24
Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m.

24a
Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m. $ r1:lx=2 m t-3 y=1+3 t z=-4 t e r2:lx=2 y-1 z=-y+4$ ---- 25 Calcu<= o valor de $m$ para que sejam concorrentes as retas: ---- 25a Calcu<= o valor de $m$ para que sejam concorrentes as retas:

25
Calcule o valor de ly=2 x-5 z=-x+2 para que sejam concorrentes as retas:

25a
Calcule o valor de pi: 3 x+y-z-4=0 para que sejam concorrentes as retas: $$r_{1}:\left{ pi: 3 x+y-z-4=0 \quad e \quad r_{2}: x-5=\frac{y}{m}=z+1\right.

26
Seja o Plano pi, calcule:

26a
Seja o Plano 3 ;, calcule: O ponto de pi: 3 x+y-z-4=0 que tem abscissa 1 e ordenada pi

26b
Seja o Plano pi: 3 x+y-z-4=0, calcule: O ponto de k que tem abscissa 0 e cota 2 ;

26c
Seja o Plano P(k, 2, k-1) in pi, calcule: O valor de pi: 3 x+y-z-4=0 para que o ponto pi: 3 x+y-z-4=0;

26d
Seja o Plano k, calcule: O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;

26e
Seja o Plano pi1: k x-4 y+4 z-7=0, calcule: O valor de pi para que o plano r:lx=2 t+2 y=1-3 t z=4 t seja paralelo a A(-1,2,3).

27
Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta

27a
Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta A(5,-1,4) e que contenha o ponto B(-1,-7,1).

28
Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos m e m e seja perpendicular a ele.

29
Determine o valor de pi1: x+m y+2 z-7=0 e pi2: 4 x+5 y+3 z+2=0 para que seja 30 o ângulo entre os planos.

29a
Determine o valor de m para que seja 30 o ângulo entre os planos. pi1

30
Determine pi2 de modo que os planos m e pi1 sejam perpendiculares.

30a
Determine pi2 de modo que os planos pi1: m x+y-3 z-1=0 e pi2: 2 x-3 m y+4 z+1=0 e A(-3,1,-2) sejam perpendiculares. B(-1,2,1)

31
Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralela a reta

31a
Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos pi: x2=z-3 ; y=4 e r e é paralela a reta pi

32
Verificar se a reta r está contida no plano pi :

32a
Verificar se a reta r:ly=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0 está contida no plano r :

32b
Verificar se a reta pi está contida no plano r: x-2=y+22=z+31 : pi:lx=h+t y=-1+2 h-3 t z=-3+h-t e m

33
Calcue os valores de n e r para que a reta pi esteja contida no plano m

33a
Calcue os valores de n e r para que a reta pi esteja contida no plano r:ly=3-2 t x=-2+t e pi: m x+2 y-3 z+n=0 z=2 t$ ---- 34 Estabe<=ça uma equação reduzida na variável $x$ da reta de interseção entre os planos ---- 34a Estabe<=ça uma equação reduzida na variável $x$ da reta de interseção entre os planos $ ---- 35 Determine o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $pi$ ---- 35a Determine o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $pi$

34
Estabeleça uma equação reduzida na variável ---- 36 Calcu<= o valor de $m$ e $n$ para que a reta ---- 36a Calcu<= o valor de $m$ e $n$ para que a reta da reta de interseção entre os planos

34a
Estabeleça uma equação reduzida na variável esteja contida no plano da reta de interseção entre os planos ---- 37 Encontre as equações reduzidas na variável $x$ da reta $r$ de interseção dos planos ---- 37a Encontre as equações reduzidas na variável $x$ da reta $r$ de interseção dos planos

35
Determine o ponto de interseção da reta ---- 38 Determine o ponto de interseção da reta ---- 38a Determine o ponto de interseção da reta com o plano ly=x-10 z=-x+1.

35a
Determine o ponto de interseção da reta com o plano $pi: 2 x-y+3 z-9=0$ ---- 39 Dada a equação >=ral do plano $pi: 3 x-2 y-z-6=0$ determine um sistema de equações paramétricas desse plano ---- 40 Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: ---- 40a Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(-2,0,1)$ e $P2(1,-4,3)$ ---- 40b Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(4,3,2)$ e $P2(-1,3,5)$ ---- 40c Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(2,4,5,3)$ e $P2(-1,-2,3,-4)$ ---- 41 Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada ---- 41a Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(2,3,-1)$ e $r: x=3+t, y=-2 t, z=1-2 t$ ---- 41b Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(3,2,1)$ e $r: y=2 x, z=x+3$ ---- 41c Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(1,2,3)$ e $r$ : eixo $0 x$ ---- 42 Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ ---- 42a Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(2,-1,2)$ e $pi: 2 x-2 y-z+3=0$ ---- 42b Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(3,-1,4)$ e $pi: x+y=-z$ ---- 42c Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(1,1,1)$ e $pi:lx=2+2 h+3 t y=-1+h+t z=2-h $ ---- 43 Calcu<= a distancia entre os planos ---- 43a Calcu<= a distancia entre os planos com o plano . r

36
Calcule o valor de pi e r para que a reta

36a
Calcule o valor de pi e r: x=4+3 t, y=-1+t, z=t para que a reta pi: x-y-2 z+4=0 esteja contida no plano r

37
Encontre as equações reduzidas na variável pi da reta r de interseção dos planos

37a
Encontre as equações reduzidas na variável lx=3 y=4 da reta pi: x+y-12=0 de interseção dos planos r1

38
Determine o ponto de interseção da reta

38a
Determine o ponto de interseção da reta r2 com o plano r1.

39
Dada a equação geral do plano r2 determine um sistema de equações paramétricas desse plano.

40
Encontre a distância entre os pontos r1: x=2-t, y=3+t, z=1-2 t e r2: x=y+1-3=z2 nos casos abaixo:

40a
Encontre a distância entre os pontos r1 e r2 nos casos abaixo: r1: x=t+1, y=t+2, z=-2 t-2 e r2: y=3 x+1, z=-4 x

40b
Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo: e

40c
Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo: e

41
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.

41a
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e .

41b
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e .

41c
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e : eixo .

42
Encontre a distancia do Ponto ao plano .

42a
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e .

42b
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e .

42c
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e

43
Calcule a distancia entre os planos

43a
Calcule a distancia entre os planos

44
Calcule a distancia entre a reta e o plano

44a
Calcule a distancia entre a reta e o plano e

44b
Calcule a distancia entre a reta e o plano : e .

45
Encontre a distancia entre as retas e nos casos

45a
Encontre a distancia entre as retas e nos casos e

45b
Encontre a distancia entre as retas e nos casos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 1a! A gente tem três vetores:
  • u = (3, -1, 1)
  • v = (1, 2, 2)
  • w = (2, 0, -3)
A questão pede pra gente calcular (u, v, w), que é o produto misto dos vetores. Esse produto serve pra a gente encontrar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e também verificar se eles são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Ele é calculado da seguinte forma:
(u, v, w) = u cdot (v times w)
Ou seja, a gente faz o produto vetorial de v e w e depois faz o produto escalar do resultado com u.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v times w. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso:
v times w = ( 2 cdot (-3) - 2 cdot 0, 2 cdot 2 - 1 cdot (-3), 1 cdot 0 - 2 cdot 2 ) = (-6, 7, -4)

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar de u com o resultado que obtivemos:
u cdot (v times w) = (3)(-6) + (-1)(7) + (1)(-4) = -18 -7 -4 = -29

Passo 5

Então, o valor de (u, v, w) é -29. Esse valor nos indica o volume do paralelepípedo (o módulo seria 29) e também nos diz que os vetores não são coplanares (já que o produto misto não é zero).

Resposta

(u, v, w) = -29

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