5
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores e ?
6
Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular
6a
Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular
6b
Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular
6c
Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular O volume do paralelepípedo determinado por .
7
Um paralelepípedo é determinado pelos vetores e . Calcule seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores .
8
Determine e para que se tenha
8a
Determine e para que se tenha
8b
Determine e para que se tenha
8c
Determine e para que se tenha
9
Determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e e verificar se os pontos e pertencem a .
10
Dada a reta , escrever equações paramétricas de .
11
Escrever equações paramétricas da reta que passa por e é paralela à reta : .
12
Dada a reta abaixo, determine o ponto de tal que.
12a
Dada a reta abaixo, determine o ponto de tal que. A ordenada seja 6 ;
12b
Dada a reta abaixo, determine o ponto de tal que. A abscissa seja igual a ordenada;
13
A reta passa pelo ponto e é paralela à reta
13a
A reta passa pelo ponto e é paralela à reta se P(m, n,-5) in r, determine m e n.
14
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
14a
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,-1,2), B(2,1,0)
14b
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(3,1,4), B(3,-2,2)
14c
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(1,2,3), B(1,3,2).
15
O ponto P(m, 1, n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Determine P.
16
Seja o triângulo de vértices A(-1,4,2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Escrever equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado A B e pelo vértice oposto a C.
17
verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta.
17a
verificar se os pontos P1(5,-4,6) e P2(4,-1,12) pertencem a reta. r: x-3-1=y+12=z-2-2
18
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui:
18a
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui: Abscissa 5;
18b
Determine o ponto da reta r: x-12=y+3-1=z4 que possui: Ordenada 2 ;
19
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta
19a
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Que passa por A(4,0,-3) e tem direção de v=(2,4,5);
19b
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1)
19c
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Pelos pontos (-1,2,3) e B(2,-1,3)
19d
Obter as equações reduzidas na variável x, da reta Dada por r : lx=2-t y=3 t z=4 t-5
20
Determinar equações paramétricas das retas que passam por:
20a
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(3,-2,4) e é paralela ao eixo dos x;
20b
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(2,2,4) e é perpendicular ao plano x O z;
20c
Determinar equações paramétricas das retas que passam por: A(-2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
21
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
21a
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:lx=-2-t y=t z=3-2 t e r2: x2=y+61=z-11
21b
Determinar o ângulo entre as seguintes retas: r1:ly=-2 x+3 z=x-2 e r2: y=z+1-1 ; x=4
22
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção.
22a
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. r1:ly=2 x+3 z=-x+5e r2:ly=-3 x+7 z=x+1
22b
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção. r1: x-32=y+1-3=z-24 e r1:lx=-1+t y=4-t z=-8+3 t
23
Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas.
23a
Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas. r1: x-24=y5=z3 e r2:ly=n x+5 z=2 x-2
24
Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m.
24a
Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determine o valor de m. $r1:lx=2 m t-3 y=1+3 t z=-4 t e r2:lx=2 y-1 z=-y+4$ ---- 25 Calcu<= o valor de $m$ para que sejam concorrentes as retas: ---- 25a Calcu<= o valor de $m$ para que sejam concorrentes as retas:
25
Calcule o valor de ly=2 x-5 z=-x+2 para que sejam concorrentes as retas:
25a
Calcule o valor de pi: 3 x+y-z-4=0 para que sejam concorrentes as retas: $$r_{1}:\left{pi: 3 x+y-z-4=0 \quad e \quad r_{2}: x-5=\frac{y}{m}=z+1\right.
26
Seja o Plano pi, calcule:
26a
Seja o Plano 3 ;, calcule: O ponto de pi: 3 x+y-z-4=0 que tem abscissa 1 e ordenada pi
26b
Seja o Plano pi: 3 x+y-z-4=0, calcule: O ponto de k que tem abscissa 0 e cota 2 ;
26c
Seja o Plano P(k, 2, k-1) in pi, calcule: O valor de pi: 3 x+y-z-4=0 para que o ponto pi: 3 x+y-z-4=0;
26d
Seja o Plano k, calcule: O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
26e
Seja o Plano pi1: k x-4 y+4 z-7=0, calcule: O valor de pi para que o plano r:lx=2 t+2 y=1-3 t z=4 t seja paralelo a A(-1,2,3).
27
Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
27a
Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta A(5,-1,4) e que contenha o ponto B(-1,-7,1).
28
Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos m e m e seja perpendicular a ele.
29
Determine o valor de pi1: x+m y+2 z-7=0 e pi2: 4 x+5 y+3 z+2=0 para que seja 30 o ângulo entre os planos.
29a
Determine o valor de m para que seja 30 o ângulo entre os planos. pi1
30
Determine pi2 de modo que os planos m e pi1 sejam perpendiculares.
30a
Determine pi2 de modo que os planos pi1: m x+y-3 z-1=0 e pi2: 2 x-3 m y+4 z+1=0 e A(-3,1,-2) sejam perpendiculares. B(-1,2,1)
31
Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralela a reta
31a
Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos pi: x2=z-3 ; y=4 e r e é paralela a reta pi
32
Verificar se a reta r está contida no plano pi :
32a
Verificar se a reta r:ly=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0 está contida no plano r :
32b
Verificar se a reta pi está contida no plano r: x-2=y+22=z+31 : pi:lx=h+t y=-1+2 h-3 t z=-3+h-t e m
33
Calcue os valores de n e r para que a reta pi esteja contida no plano m
33a
Calcue os valores de n e r para que a reta pi esteja contida no plano r:ly=3-2 t x=-2+t e pi: m x+2 y-3 z+n=0 z=2 t$ ---- 34 Estabe<=ça uma equação reduzida na variável $x$ da reta de interseção entre os planos ---- 34a Estabe<=ça uma equação reduzida na variável $x$ da reta de interseção entre os planos $ ---- 35 Determine o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $pi$ ---- 35a Determine o ponto de interseção da reta $r$ com o plano $pi$
34
Estabeleça uma equação reduzida na variável ---- 36 Calcu<= o valor de $m$ e $n$ para que a reta ---- 36a Calcu<= o valor de $m$ e $n$ para que a reta da reta de interseção entre os planos
34a
Estabeleça uma equação reduzida na variável esteja contida no plano da reta de interseção entre os planos ---- 37 Encontre as equações reduzidas na variável $x$ da reta $r$ de interseção dos planos ---- 37a Encontre as equações reduzidas na variável $x$ da reta $r$ de interseção dos planos
35
Determine o ponto de interseção da reta ---- 38 Determine o ponto de interseção da reta ---- 38a Determine o ponto de interseção da reta com o plano ly=x-10 z=-x+1.
35a
Determine o ponto de interseção da reta com o plano $pi: 2 x-y+3 z-9=0$ ---- 39 Dada a equação >=ral do plano $pi: 3 x-2 y-z-6=0$ determine um sistema de equações paramétricas desse plano ---- 40 Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: ---- 40a Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(-2,0,1)$ e $P2(1,-4,3)$ ---- 40b Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(4,3,2)$ e $P2(-1,3,5)$ ---- 40c Encontre a distância entre os pontos $P1$ e $P2$ nos casos abaixo: $P1(2,4,5,3)$ e $P2(-1,-2,3,-4)$ ---- 41 Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada ---- 41a Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(2,3,-1)$ e $r: x=3+t, y=-2 t, z=1-2 t$ ---- 41b Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(3,2,1)$ e $r: y=2 x, z=x+3$ ---- 41c Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada $P(1,2,3)$ e $r$ : eixo $0 x$ ---- 42 Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ ---- 42a Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(2,-1,2)$ e $pi: 2 x-2 y-z+3=0$ ---- 42b Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(3,-1,4)$ e $pi: x+y=-z$ ---- 42c Encontre a distancia do Ponto $P$ ao plano $pi$ $P(1,1,1)$ e $pi:lx=2+2 h+3 t y=-1+h+t z=2-h $ ---- 43 Calcu<= a distancia entre os planos ---- 43a Calcu<= a distancia entre os planos com o plano . r
36
Calcule o valor de pi e r para que a reta
36a
Calcule o valor de pi e r: x=4+3 t, y=-1+t, z=t para que a reta pi: x-y-2 z+4=0 esteja contida no plano r
37
Encontre as equações reduzidas na variável pi da reta r de interseção dos planos
37a
Encontre as equações reduzidas na variável lx=3 y=4 da reta pi: x+y-12=0 de interseção dos planos r1
38
Determine o ponto de interseção da reta
38a
Determine o ponto de interseção da reta r2 com o plano r1.
39
Dada a equação geral do plano r2 determine um sistema de equações paramétricas desse plano.
40
Encontre a distância entre os pontos r1: x=2-t, y=3+t, z=1-2 t e r2: x=y+1-3=z2 nos casos abaixo:
40a
Encontre a distância entre os pontos r1 e r2 nos casos abaixo: r1: x=t+1, y=t+2, z=-2 t-2 e r2: y=3 x+1, z=-4 x
40b
Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo: e
40c
Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo: e
41
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.
41a
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e .
41b
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e .
41c
Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada. e : eixo .
42
Encontre a distancia do Ponto ao plano .
42a
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e .
42b
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e .
42c
Encontre a distancia do Ponto ao plano . e
43
Calcule a distancia entre os planos
43a
Calcule a distancia entre os planos
44
Calcule a distancia entre a reta e o plano
44a
Calcule a distancia entre a reta e o plano e
44b
Calcule a distancia entre a reta e o plano : e .
45
Encontre a distancia entre as retas e nos casos
45a
Encontre a distancia entre as retas e nos casos e
45b
Encontre a distancia entre as retas e nos casos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 1a! A gente tem três vetores:
u = (3, -1, 1)
v = (1, 2, 2)
w = (2, 0, -3)
A questão pede pra gente calcular (u, v, w), que é o produto misto dos vetores. Esse produto serve pra a gente encontrar o volume do paralelepípedo formado por esses vetores e também verificar se eles são coplanares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Ele é calculado da seguinte forma:
(u, v, w) = u cdot (v times w)
Ou seja, a gente faz o produto vetorial de v e w e depois faz o produto escalar do resultado com u.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial v times w. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Agora, fazemos o produto escalar de u com o resultado que obtivemos:
u cdot (v times w) = (3)(-6) + (-1)(7) + (1)(-4) = -18 -7 -4 = -29
Passo 5
Então, o valor de (u, v, w) é -29. Esse valor nos indica o volume do paralelepípedo (o módulo seria 29) e também nos diz que os vetores não são coplanares (já que o produto misto não é zero).