Dadas as matrizes e B=[lll2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2], com t, s in R fixados tais que t neq 3 e s neq 0, calcule o determinante de: B^-1 A^2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes, e , e precisa calcular o determinante de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes, e propriedades desses determinantes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes quadradas, como trabalhar com matrizes inversas e potências de matrizes, além de aplicar algumas propriedades básicas dos determinantes para simplificar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes que envolve o produto de duas matrizes:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
Isso significa que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Vamos usar essa propriedade para simplificar nosso cálculo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar det(B^-1 A^2) = det(B^-1) cdot det(A^2) . Podemos usar a propriedade que mencionamos e expandir isso da seguinte forma:
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, podemos calcular det(A) = t cdot 1 - 0 + 1 cdot (-3) = t - 3 . Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A^2) = (t - 3)^2
Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
Então:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular det(B^-1) = 1det(B) . Sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
B = 2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2
Então, precisamos encontrar det(B) = 2 cdot dets & 2 1 & 2 - 2 cdot det0 & 2 1 & 2 + 2 cdot det0 & s 1 & 1 . Vamos calcular o determinante da matriz dets & 2 1 & 2 = s cdot 2 - 2 cdot 1 = 2s - 2 :