Dadas as matrizes A=[lllt & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1] e B=[lll2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2], com t, s in R fixados tais que t neq 3 e s neq 0, calcule o determinante de:
B^-1 A^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes, e , e precisa calcular o determinante de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes, determinantes, e propriedades desses determinantes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes quadradas, como trabalhar com matrizes inversas e potências de matrizes, além de aplicar algumas propriedades básicas dos determinantes para simplificar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes que envolve o produto de duas matrizes:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
Isso significa que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Vamos usar essa propriedade para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar det(B^-1 A^2) = det(B^-1) cdot det(A^2) . Podemos usar a propriedade que mencionamos e expandir isso da seguinte forma:

Passo 4

Vamos calcular det(A^2) = (det(A))^2 . Sabemos que:
A = t & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1
Então, precisamos primeiro encontrar det(A) = t cdot det1 & 5 0 & 1 - 0 cdot det0 & 5 3 & 1 + 1 cdot det0 & 1 3 & 0 . Vamos calcular o determinante da matriz det1 & 5 0 & 1 = (1)(1) - (5)(0) = 1 :
det0 & 1 3 & 0 = (0)(0) - (1)(3) = -3
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, podemos calcular det(A) = t cdot 1 - 0 + 1 cdot (-3) = t - 3 . Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A^2) = (t - 3)^2
Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
Então:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular det(B^-1) = 1det(B) . Sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
B = 2 & 2 & 2 0 & s & 2 1 & 1 & 2
Então, precisamos encontrar det(B) = 2 cdot dets & 2 1 & 2 - 2 cdot det0 & 2 1 & 2 + 2 cdot det0 & s 1 & 1 . Vamos calcular o determinante da matriz dets & 2 1 & 2 = s cdot 2 - 2 cdot 1 = 2s - 2 :
det0 & 2 1 & 2 = 0 cdot 2 - 2 cdot 1 = -2
Usando a expansão pela primeira linha:
det0 & s 1 & 1 = 0 cdot 1 - s cdot 1 = -s
Calculando os determinantes das matrizes 2x2:
det(B) = 2(2s - 2) - 2(-2) + 2(-s) = 4s - 4 + 4 - 2s = 2s
det(B^-1) = 12s
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo que calculamos:
det(B^-1 A^2) = det(B^-1) cdot det(A^2) = 12s cdot (t - 3)^2

Resposta

O determinante de det(B^-1 A^2) = (t - 3)^22s é:

Exercícios relacionados